Question

Докажите тождество : 4sina cosa × cos2a=sin4a

Answer 1

$4 \sin(a) \cos(a) \times \cos(2a) = \sin(4a) \\ \\ 4 \sin(a) \cos(a) \times \cos(2a) = 2 \times 2\sin(a) \cos(a) \times \cos(2a) = \\ = 2 \sin(2a) \cos( 2a ) = \sin(2 \times 2a) = \sin(4a) \\ \\ \sin(4a) = \sin(4a)$

Answer 2

Давайте докажем данное тождество с использованием тригонометрических идентичностей. Начнем с левой стороны:

Левая сторона: 4sin(a)cos(a) * cos(2a)

Теперь воспользуемся следующими тригонометрическими идентичностями:

1. Удвоение угла (Double-Angle) для синуса: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

2. Тригонометрическая идентичность для косинуса двойного угла: cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)

Сначала применим удвоение угла к sin(a):

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Теперь мы можем выразить sin(a)cos(a) через sin(2a) / 2:

sin(a)cos(a) = (1/2) * sin(2a)

Теперь заменим cos(2a) с использованием тригонометрической идентичности для косинуса двойного угла:

cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)

Теперь мы можем выразить cos^2(a) через sin^2(a):

cos^2(a) = 1 - sin^2(a)

Теперь подставим это обратно в выражение для cos(2a):

cos(2a) = 1 - sin^2(a) - sin^2(a)

cos(2a) = 1 - 2sin^2(a)

Теперь мы можем заменить cos(2a) в исходном выражении:

4sin(a)cos(a) * cos(2a) = 4(1/2) * sin(2a) * (1 - 2sin^2(a))

Упростим это выражение:

2sin(2a) * (1 - 2sin^2(a))

Теперь воспользуемся тригонометрической идентичностью для sin(4a):

sin(4a) = 2sin(2a)cos(2a)

Заметим, что у нас уже есть 2sin(2a), и мы выразили cos(2a) как 1 - 2sin^2(a). Таким образом:

2sin(2a) * (1 - 2sin^2(a)) = sin(4a)

Таким образом, мы доказали данное тождество:

4sin(a)cos(a) * cos(2a) = sin(4a)