Question

12*4^x-35*6^x+18*9^x=0

Answer 1

$12*(2^x)^2-35*3^x*2^x+18*9^x=0 \\ \\ D=(35*3^x)^2-14*12*9^x=1225*9^x-864*9^x=361*9^x \\ \\ D=(19*3^x)^2 \\ \\ 1)2^x= \frac{35*3^x+19*3^x}{24} = \frac{54*3^x}{24} = \frac{9*3^x}{4} \\ \\ ( \frac{2}{3} )^x=( \frac{2}{3} )^{-2} \\ \\ x=-2$

$2)2^x= \frac{35*3^x-19*3^x}{24} = \frac{16*3^x}{24} = \frac{2*3^x}{3} \\ \\ ( \frac{2}{3} )^x=( \frac{2}{3} ) \\ \\ x=1 \\ \\ OTVET: {-2;1}$

Answer 2

Для решения данного уравнения нужно использовать свойства степенных функций и алгебраических преобразований.

Итак, имеем уравнение: 12*4^x - 35*6^x + 18*9^x = 0

Сначала приведем все слагаемые к общему виду, выделив наибольший общий множитель: 4^x = (2^2)^x = 2^(2x) 6^x = (2*3)^x = 2^x * 3^x 9^x = (3^2)^x = 3^(2x)

Теперь подставим полученные выражения в уравнение: 12 * 2^(2x) - 35 * (2^x * 3^x) + 18 * 3^(2x) = 0

Таким образом, уравнение принимает вид: 12 * 2^(2x) - 35 * 2^x * 3^x + 18 * 3^(2x) = 0

Заметим, что с помощью переменной z = 2^x мы перешли от одного уравнения с тремя слагаемыми к уравнению вида: 12 * z^2 - 35 * z * 3^x + 18 * 3^(2x) = 0

Обозначим (3^x) = y, тогда: 12 * z^2 - 35 * z * y + 18 * y^2 = 0

Получили квадратное уравнение относительно переменной z.

Решаем данное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = (-35 * y)^2 - 4 * 12 * 18 * y^2 = 1225y^2 - 4 * 12 * 18y^2 = y^2 * (1225 - 864) = y^2 * 361 = 361y^2

D > 0, если и только если y ≠ 0. Поэтому предполагаем, что y ≠ 0.

Две возможности для решения данного квадратного уравнения:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня: z1 = (-(-35y) + sqrt(D)) / (2 * 12) = (35y + 19y) / 24 = 54y / 24 = 9y / 4 z2 = (-(-35y) - sqrt(D)) / (2 * 12) = (35y - 19y) / 24 = 16y / 24 = 2y / 3

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень: z = -(-35y) / (2 * 12) = 35y / 24 = 35/24 * (3^x)

Рассмотрим каждую возможность в отдельности:

1. Пусть z1 = 9y / 4. Тогда, подставляя обратно значения z1 и y, получаем: 2^x = 9(3^x) / 4 Выражая 2^x через 3^x, имеем: (2^x) / (3^x) = 9 / 4 (2/3)^x = 9 / 4

2. Пусть z2 = 2y/3. Тогда, подставляя обратно значения z2 и y, получаем: 2^x = (2/3)*(3^x) Упрощая, получаем: (2/3)^x = 1

3. Пусть z = 35/24 * (3^x). Тогда, подставляя обратно значение z, получаем: 2^x = 35/24 * (3^x)

Следовательно, уравнение 12*4^x - 35*6^x + 18*9^x = 0 имеет три возможных решения: 1. (2/3)^x = 9/4 2. (2/3)^x = 1 3. 2^x = 35/24 * (3^x)

Для точного определения значений x в каждом из случаев, необходимо применить дальнейшие алгебраические преобразования или численные методы, такие как графики или метод Ньютона.