Question

Solve 2sin 2x - cos 2x = ( tg x + 3)/(tgx + 1).

Answer 1

ОДЗ: Cosx ≠ 0    ⇒  x ≠ π/2 + πn,n ∈ z
         tgx + 1 ≠ 0  ⇒ tgx ≠ - 1   ⇒  x ≠ - π/4 + πn

$\frac{2*2tgx}{1+ tg^{2}x }- \frac{1- tg^{2} x}{1+ tg^{2}x } = \frac{tgx+3}{tgx+1} \\\\\frac{4tgx-(1- tg^{2} x)}{1+ tg^{2}x }= \frac{tgx+3}{tgx+1} \\\\ \frac{ tg^{2}x+4tgx-1 }{1+ tg^{2}x }= \frac{tgx+3}{tgx+1}$

(tg²x + 4tgx - 1)(tgx + 1) = (1+tg²x)(tgx + 3)
tg³x + tg²x + 4tg²x + 4tgx - tgx - 1 = tgx + 3 + tg³x + 3tg²x
5tg²x + 3tgx - 1 - tgx - 3 - 3tg²x = 0
2tg²x + 2tgx - 4 = 0
tg²x + tgx - 2 = 0
tgx₁ = - 2   ⇒  x = - arctg2 + πn , n ∈ z
tgx₂ = 1     ⇒  x = π/4 + πn , n ∈ z

Answer 2

Ваша задача - решить уравнение `2sin2x - cos2x = (tanx + 3)/(tanx + 1)`. Для начала, преобразуем это уравнение, чтобы сделать его более удобным для решения.

1. Преобразуем `cos2x` в `1 - sin^2x` и `sin2x` в `2sinxcosx`. Это делается с помощью формул тригонометрических функций.

`cos2x = 1 - sin^2x` `sin2x = 2sinxcosx`

2. Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

`2(2sinxcosx) - (1 - sin^2x) = (tanx + 3)/(tanx + 1)`

3. Упрощаем уравнение, умножая обе стороны на `(tanx + 1)` и `(1 - sin^2x)`, чтобы избавиться от дробей:

`4sinxcosx - (1 - sin^2x)(tanx + 1) = tanx + 3`

4. Далее, упрощаем уравнение, раскрывая скобки и упрощая выражения:

`4sinxcosx - tanx - sin^2x = tanx + 3`

5. Объединяем слагаемые с `tanx` на одной стороне уравнения:

`3tanx - sin^2x = 4sinxcosx + 3`

6. Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить относительно `x`. Для этого мы можем использовать метод исключения, добавив и вычтя `sin^2x` с обеих сторон уравнения:

`(3tanx + sin^2x) - sin^2x = 4sinxcosx + 3 + sin^2x`

7. Упрощаем уравнение:

`3tanx = 4sinxcosx + 3 + 2sin^2x`

8. Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:

`3tanx = 4sinxcosx + 3 + 2sin^2x`

9. И, наконец, решаем уравнение относительно `x`.

Обратите внимание, что решение этого уравнения может быть сложным и потребовать использования дополнительных тригонометрических идентичностей. Кроме того, уравнение может иметь несколько решений, в зависимости от значений `x`.