Question

Тангес угла наклона касательной к графику функции y=f(x) в точке a равен

Answer 1

Найдём производную и подставим точку касания - это и будет тангенс угла наклона

$f(x)=x(x+2)^2\\f'(x)=\left(x\right)'\cdot \left({x+2}\right)^{2}+\left(\left({x+2}\right)^{2}\right)'\cdot x=\left({x+2}\right)^{2}+2\,x\,\left(x+2\right)\\f'(-1)=(-1+2)^2-2(-1+2)=1-2=-1$

Answer 2

Ответ:

-1

Объяснение:

Тангес угла наклона касательной к графику функции y=f(x) в точке a равен значению производной функции в точке a

Производная произведения 2 функций вычисляется по формуле

$f(g(x) \cdot h(x))' = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$

$f'(x) = (x (x+2)^2)' = x' \cdot (x+2)^2 + x\cdot((x+2)^2)' =\\ \\1 \cdot (x^2 + 4x + 4) + x \cdot (2 (x + 2) \cdot (x + 2)') =\\\\= x^2 + 4x + 4 + x \cdot 2 (x + 2) = x ^ 2 + 4 x + 4 + 2x^2 + 4x = 3x^2 + 8 x + 4$

$f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 + 8 \cdot (-1) + 4 = 3 - 8 + 4 = -1$

Answer 3

Тангенс угла наклона касательной к графику функции y = f(x) в точке a определяется как производная функции f(x) в точке a. Этот угол наклона показывает, насколько круто или полого касательная линия поднимается или опускается в данной точке графика функции. Математически это можно записать следующим образом:

Тангенс угла наклона (tg α) касательной к графику функции y = f(x) в точке a равен значению производной функции f(x) в точке a. То есть:

tg α = f'(a),

где f'(a) - производная функции f(x) в точке a.

Производная функции в данной точке показывает, как меняется функция при малых изменениях аргумента (x) в окрестности точки a. Если производная положительна, то угол наклона положителен (как на склоне горы), если отрицательна, то угол наклона отрицателен (как на склоне холма). Знак производной также определяет направление изменения функции.

Таким образом, тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке a является числовым выражением для этого угла, и его величина зависит от значения производной в данной точке.