Question

Из 100 студентов английский язык изучают 28 человек, немецкий-30, французский-5, английский и немецкий-8, английский и французский-10, все три языка знают 3 студента.Сколько студентов не знают ни одного из этих языков ?

Answer 1

Всего - 100 ст.

Английский язык - 28 ст.

Немецкий язык - 30 ст.

Французский язык - 5 ст.

Английский + Немецкий - 8 ст.

Английский + Французский - 10 ст.

Английский + Немецкий + Французский - 3 ст.

Решение:

100-(28+30+5+8+10+3)=100-84=16 (ст.) - не знают ни одного языка.

Ответ: 16 студентов не знают ни одного языка.

Answer 2

Давайте воспользуемся методом множеств и формулой включения-исключения, чтобы решить эту задачу. Для начала определим несколько множеств:

A - студенты, изучающие английский язык (28 человек). B - студенты, изучающие немецкий язык (30 человек). C - студенты, изучающие французский язык (5 человек). AB - студенты, изучающие и английский, и немецкий (8 человек). AC - студенты, изучающие и английский, и французский (10 человек). BC - студенты, изучающие и немецкий, и французский (неизвестно, но нам пока не понадобится). ABC - студенты, изучающие все три языка (3 человека).

Теперь мы можем использовать формулу включения-исключения:

Количество студентов, не знающих ни одного из этих языков (X), можно выразить как:

X = Всего студентов - (A + B + C - AB - AC + BC - ABC)

Где: - Всего студентов = 100. - A = 28 (изучают английский). - B = 30 (изучают немецкий). - C = 5 (изучают французский). - AB = 8 (изучают и английский, и немецкий). - AC = 10 (изучают и английский, и французский). - BC = неизвестно, но нам не нужно знать его значение. - ABC = 3 (изучают все три языка).

Подставив все значения в формулу:

X = 100 - (28 + 30 + 5 - 8 - 10 + BC - 3)

Теперь мы можем выразить X:

X = 100 - (52 + BC - 3)

Теперь нам нужно найти значение BC. Для этого мы можем воспользоваться информацией о том, что все три языка знают 3 студента:

ABC = 3

Мы также знаем, что AB и AC равны 8 и 10 соответственно, и это включает в себя студентов, изучающих все три языка:

AB + AC - 2(ABC) = 8 + 10 - 2(3) = 8 + 10 - 6 = 12

Теперь мы можем найти значение BC:

BC = Всего студентов, изучающих немецкий и французский - (BC - AB - AC + ABC)

BC = (Изучают немецкий - BC) + (Изучают французский - BC) - 12

Теперь мы можем подставить значение BC в наше уравнение для X:

X = 100 - (52 + (Изучают немецкий - BC) + (Изучают французский - BC) - 3)

Теперь мы можем упростить уравнение:

X = 100 - (52 + (30 - BC) + (5 - BC) - 3)

X = 100 - (52 + 30 - BC + 5 - BC - 3)

X = 100 - (52 - 3 - 3)

X = 100 - 46

X = 54

Итак, 54 студента не знают ни одного из этих трех языков.