Question

2sin(П+x)*sin(П/2+x)=sin x, и Найти корни этого уравнения принадлежащего промежутку [-5пи;-4пи]

Answer 1

2sin(π+x)*sin(π/2+x)=sinx
-2sinx*cosx=sinx
sinx-2sinx*cosx=0
sinx(1-2cosx)=0
sinx=0 или 1-2cosx=0
x=πn, n∈Z   2cosx=1
                    cosx=1/2
                    x=(+-)π/3 +2πn, n∈Z
1) x₁=-5π
2) x₂=-4π-π/3=(-12π-π)/3=-13π/3
3) x₃=-4π

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и найдем его корни на заданном интервале [-5π, -4π]. Уравнение звучит следующим образом:

2sin(π + x)sin(π/2 + x) = sin(x)

Давайте разделим обе стороны на sin(x), учтя, что sin(x) не может быть равен 0, так как sin(0) = 0, и это не удовлетворяет уравнению:

2sin(π + x)sin(π/2 + x) / sin(x) = 1

Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы упростить уравнение. Воспользуемся формулой для синуса суммы:

sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)

Применяя это к нашему уравнению:

2[sin(π)cos(x) + cos(π)sin(x)][cos(π/2)cos(x) - sin(π/2)sin(x)] / sin(x) = 1

Теперь заметим, что sin(π) = 0 и cos(π) = -1, а также sin(π/2) = 1 и cos(π/2) = 0. Подставим эти значения:

2[0(-1)cos(x) + (-1)sin(x)][0cos(x) - 1sin(x)] / sin(x) = 1

Упростим выражение:

2(-sin(x))(sin(x)) / sin(x) = 1

Теперь у нас есть:

-2sin(x) = 1

Делим обе стороны на -2:

sin(x) = -1/2

Теперь, чтобы найти корни этого уравнения на заданном интервале [-5π, -4π], мы должны рассмотреть значения арксинуса для -1/2. Мы знаем, что sin(-π/6) = -1/2. Таким образом, решением уравнения на интервале [-5π, -4π] является:

x = -π/6

Пожалуйста, обратите внимание, что это один из корней уравнения, и возможно, есть другие корни на данном интервале, но это - один из них.