Question

в равностороннем треугольнике со стороной 8 вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого. Во второй треугольник таким же образом вписан третий треугольник и т.д. Найдите периметр восьмого треугольника.​

Answer 1

Ответ:

3/16

Объяснение:

периметр каждого последующего треугольника уменьшается в 2-а раза по отношению к предыдущему (потому, что стороны треугольника уменьшаются в двое). Поэтому формула выглядит так:

Pₙ=3a₁/2ⁿ⁻¹, где

Pₙ - периметр n-ого внутреннего треугольника

a₁ - сторона "первого" треугольника

n - номер внутреннего треугольника, n=1, 2, ... k, k∈N

P₈=3a₁/2⁸⁻¹=3a₁/2⁷;

P⁸=3*8/2⁷=24/128=2³*3/2⁷=3/2⁴=3/16

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно найти периметр восьмого треугольника, который вписывается в предыдущий треугольник. Эти треугольники образуют бесконечную геометрическую прогрессию, и мы можем использовать формулы для суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Пусть P1 - периметр первого треугольника, равностороннего треугольника, со стороной 8. Тогда P1 = 3 * 8 = 24.

Затем периметр второго треугольника (P2) будет равен половине периметра первого треугольника, так как второй треугольник вписывается в середины сторон первого треугольника. P2 = P1 / 2 = 24 / 2 = 12.

Аналогично, периметр третьего треугольника (P3) будет равен половине периметра второго треугольника: P3 = P2 / 2 = 12 / 2 = 6.

Таким образом, периметр четвёртого треугольника (P4) будет равен половине периметра третьего треугольника: P4 = P3 / 2 = 6 / 2 = 3.

Продолжая этот процесс, мы видим, что периметры треугольников образуют бесконечную геометрическую прогрессию с первым членом (P1) равным 24 и коэффициентом (1/2).

Теперь, чтобы найти периметр восьмого треугольника (P8), мы можем использовать формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии:

P8 = P1 * (1 - (1/2)^8) / (1 - 1/2)

P8 = 24 * (1 - (1/256)) / (1/2)

P8 = 24 * (255/256) / (1/2)

P8 = (24 * 255) / (256 * 1/2)

P8 = (24 * 255) / 128

P8 = 480

Итак, периметр восьмого треугольника равен 480.