Question

В равносторонний треугольник со стороной 8 см вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого. Во второй треугольник таким же образом вписан третий треугольник и т.д.Найдите периметр 8 треугольника. Заранее спасибо за помощь!

Answer 1

стороны второго вписанного треугольника будут средними линиями первого треугольника и будут = а/2 (если а - сторона первого треугольника)

для третьего треугольника сторона будет = а/2 : 2 = а/4

для четвертого --- а/8 (для n-ного а / 2^(n-1))

для восьмого --- а/128

P = 3а / 128

 

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать следующий подход.

Первый вписанный треугольник будет иметь половину длины стороны исходного треугольника, поэтому его периметр будет равен 8/2 = 4 см.

Каждый следующий вписанный треугольник будет иметь половину периметра предыдущего треугольника. Таким образом, периметр второго треугольника будет 4/2 = 2 см.

Аналогично, периметр третьего треугольника будет 2/2 = 1 см.

Можно заметить закономерность: каждый следующий треугольник будет иметь периметр, равный половине периметра предыдущего треугольника. Таким образом, периметр четвертого треугольника будет 1/2 см, пятого треугольника - 1/4 см, шестого треугольника - 1/8 см и так далее.

Суммируя периметры всех треугольников, получим:

4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Это является бесконечной геометрической прогрессией с первым членом a = 4 и знаменателем r = 1/2.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии может быть вычислена по формуле:

S = a / (1 - r)

В нашем случае:

S = 4 / (1 - 1/2)

S = 4 / (1/2)

S = 8

Таким образом, суммарный периметр всех вписанных треугольников равен 8 см.