Question

Найдите число корней уравнения sin2x + cos2x = 2tgx + 1 на промежутке [0; ]

Answer 1

ОДЗ cosx≠0; x≠π/2+πn;  n∈Z

sin2x+cos2x = 2tgx+1;

2sinx*cosx +1-2sin²x = (2sinx/cosx)+1;

2sinx*cosx -2sin²x - 2sinx/cosx=0;

2sinx*(cosx -sinx - 1/cosx)=0;

2sinx(cos²x-cosx*sinx-1) =0

1)sinx=0; х=πк; к∈Z;   2)cos²x-cosx*sinx-1=0;  -sin²x-cosx*sinx=0;

-sinx*(cosx+sinx)=0;  cosx+sinx=0; разделим обе части на cosx≠0;

tgx=-1; х=-π/4+πm; m∈Z;

отберем корни, принадлежащие отрезку [0;2π ]

х=πк; к∈Z; к=0; х=0; к=1; х=π; к=2; х=2π;

2) х=-π/4+πm; m∈Z; m=1; х=-π/4+π=3π/4;m=2; х=-π/4+2π=7π/4;

Answer 2

Уравнение, которое нужно решить, это sin^2(x) + cos^2(x) = 2tan(x) + 1 на промежутке [0, ∞). Давайте рассмотрим его по частям.

Преобразование уравнения

Начнем с преобразования уравнения sin^2(x) + cos^2(x) = 2tan(x) + 1. Используем тригонометрическую тождественную формулу sin^2(x) + cos^2(x) = 1: 1 + 1 = 2tan(x) + 1. Это дает нам упрощенную формулу: 2 = 2tan(x).

Поиск корней

Теперь мы можем решить уравнение 2 = 2tan(x) на промежутке [0, ∞).

Решение уравнения

Для решения этого уравнения можно применить инверсию тангенса на обе стороны: tan^(-1)(2) = x.

Таким образом, мы нашли единственный корень уравнения на промежутке [0, ∞), который равен x = tan^(-1)(2).

Подробности решения

Инверсия тангенса (tan^(-1)) вычисляет арктангенс. В данном случае, мы применяем арктангенс к обеим сторонам уравнения, чтобы найти значение угла х, при котором тангенс этого угла равен 2.

Угол, для которого тангенс равен 2, записывается как x = tan^(-1)(2). Это означает, что угол х, чей тангенс равен 2, может быть найден с помощью обратной функции тангенса (арктангенс) для значения 2.

Таким образом, на промежутке [0, ∞) уравнение sin^2(x) + cos^2(x) = 2tan(x) + 1 имеет единственный корень х = tan^(-1)(2).