Question

При каких значениях а уравнение х в 4 + (3а+1) х в квадрате + 0.25=0 имеет два равных корня?

Answer 1

$x^{4} +(3a+1)x^{2} +0.25=0$

Заменим x^2 на t , t ≥ 0:

$t^{2} +(3a+1)t+0.25=0$

Начальное уравнение будет иметь два корня,

только если уравнение $t^{2} +(3a+1)t+0.25=0$  будет иметь только один корень, который больше нуля или один из корней будет < 0 , а другой > 0.

Рассмотрим эти два случая :

1. Уравнение будет иметь один корень, если D = 0 :

$(3a+1)^{2} - 4*0.25=0$

$9a^{2} +6a+1 - 1=0$

$9a^{2} +6a=0$

$3a(3a+2) = 0$

[ $3a = 0$     =>     $a = 0$

[ $3a + 2 = 0$     =>     $3a =-2$     =>     $a = -\frac{2}{3}$

a = 0 не подходит, т.к при а = 0, уравнение имеет корень -0.5, а он < 0.

2. Один из корней уравнения будет < 0 , а другой > 0, если :

{ D > 0

{ f(0) < 0 , где f(t) = t^2 +(3a+1)t+0.25=0

-----------------

{ $(3a+1)^{2} - 4*0.25>0$

{ $0^{2} +(3a+1)0+0.25$   =>   0.25 < 0   =>   x ∈ ∅

Ответ : при  a = -2/3

Answer 2

Для того чтобы уравнение $x^4 + (3a + 1)x^2 + 0.25 = 0$ имело два равных корня, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю. Дискриминант для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ равен $D = b^2 - 4ac$.

В данном случае, $a = 1$, $b = 3a + 1$, и $c = 0.25$. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

$D = (3a + 1)^2 - 4(1)(0.25) = 9a^2 + 6a + 1 - 1 = 9a^2 + 6a.$

Теперь установим $D$ равным нулю и решим уравнение:

$9a^2 + 6a = 0.$

Мы можем вынести общий множитель $3a$ из обоих членов:

$3a(3a + 2) = 0.$

Теперь у нас есть два множителя, и чтобы $D$ был равен нулю, один из них должен быть равен нулю. Это дает два возможных значения $a$:

1. $3a = 0 \Rightarrow a = 0$.
2. $3a + 2 = 0 \Rightarrow 3a = -2 \Rightarrow a = -2/3$.

Таким образом, уравнение $x^4 + (3a + 1)x^2 + 0.25 = 0$ имеет два равных корня при $a = 0$ и $a = -2/3$.