Question

Найдите сумму корней уравнения sin2x –4sinx = 5 на промежутке [-p;2p]

Answer 1

$sin^2x-4sinx=5\\\\sin^2x-4sinx-5=0\\\\t=sinx\ ,\ \ -1\leq t\leq 1\ \ ,\ \ \ \ t^2-4t-5=0\ ,\\\\t_x=-1\ ,\ \ t_2=5>1\ \ \ (teorema\ Vieta)\\\\a)\ \ sinx=-1\ \ ,\ \ \ x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ x\in [-\pi \, ;\, 2\pi \, ]:\ \ x_1=-\dfrac{\pi}{2}\ ,\ \ x_2=\dfrac{3\pi}{2}\\\\x_1+x_2=-\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{3\pi}{2}=\pi$

Answer 2

Для нахождения суммы корней уравнения sin(2x) - 4sin(x) = 5 на промежутке [-π, 2π], мы должны сначала решить это уравнение. Затем мы найдем корни на указанном интервале и вычислим их сумму.

1. Перепишем уравнение с использованием тригонометрических тождеств:

sin(2x) - 2sin(x)cos(x) - 4sin(x) = 5

2. Объединим похожие слагаемые:

sin(2x) - 2sin(x)(cos(x) + 2) = 5

3. Теперь у нас есть уравнение с одним синусом:

sin(2x) - 2sin(x)(cos(x) + 2) = 5

4. Решим это уравнение:

sin(2x) - 2sin(x)cos(x) - 4sin(x) = 5

sin(2x) - 4sin(x) - 2sin(x)cos(x) = 5

sin(2x) - 6sin(x) - 2sin(x)cos(x) = 5

sin(2x) - 6sin(x) = 5 + 2sin(x)cos(x)

sin(2x) - 6sin(x) = 5 + sin(2x)

-6sin(x) = 5

sin(x) = -5/6

На промежутке [-π, 2π] синус функции sin(x) имеет значения от -1 до 1. Таким образом, уравнение sin(x) = -5/6 не имеет решений на данном интервале, потому что -5/6 находится вне диапазона значений синуса.

Следовательно, уравнение sin(2x) - 4sin(x) = 5 не имеет корней на промежутке [-π, 2π].