Question

Найдите стационарные точки, промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции f(x)= x^3 -x^2 -x+2

Answer 1

Відповідь:f(0)=2

................................

Answer 2

Для нахождения стационарных точек функции $f(x) = x^3 - x^2 - x + 2$, сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю:

$f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$

Теперь найдем значения $x$, при которых производная равна нулю:

$3x^2 - 2x - 1 = 0$

Это уравнение можно решить с помощью квадратного уравнения или других методов. Давайте воспользуемся квадратным уравнением:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В данном случае, $a = 3$, $b = -2$, и $c = -1$. Подставляя значения, получаем:

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6}$

$x = \frac{2 \pm 4}{6}$

Таким образом, у нас есть две стационарные точки:

1. При $x = \frac{1}{3}$
2. При $x = -1$

Для определения интервалов возрастания и убывания функции, можно взять производные на интервалах между стационарными точками и за пределами этих точек и проверить знак производной на этих интервалах.

1. Интервал между $-\infty$ и $-1$: Выберем значение $x = -2$ (за пределами стационарных точек) и подставим в $f'(x)$: $f'(-2) = 3(-2)^2 - 2(-2) - 1 = 11 > 0$ На этом интервале функция возрастает.

2. Интервал между $-1$ и $\frac{1}{3}$: Выберем значение $x = 0$ (между стационарными точками) и подставим в $f'(x)$: $f'(0) = 3(0)^2 - 2(0) - 1 = -1 < 0$ На этом интервале функция убывает.

3. Интервал после $\frac{1}{3}$ и до $+\infty$: Выберем значение $x = 1$ (за пределами стационарных точек) и подставим в $f'(x)$: $f'(1) = 3(1)^2 - 2(1) - 1 = 0$ На этом интервале функция имеет нулевой наклон, что означает возможный локальный минимум или максимум. Для определения, является ли это минимум или максимум, можно взять вторую производную $f''(x)$ и проверить ее знак в точке $x = 1$. Если $f''(1) > 0$, то это локальный минимум, и если $f''(1) < 0$, то это локальный максимум.