Question

Доведіть, що функція F є первісною для функції f на вказаному проміжку I. F(x)=x^4-3x+1, f(x)=4x^3-3, I=(-∞;+∞)

Answer 1

Ответ и Объяснение:

Перевод: Докажите, что функция F является первообразной для функции f на указанном промежутке I.

Информация: 1) Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке X, если для всех x∈X выполняется равенство F'(x)= f(x).

2) Таблица производных:

(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹;

x' = 1;

C' = 0, C - константа.

3) Аддитивность производной

(f(x)+g(x))' = f(x)'+g(x)'.

Решение. Для заданных F(x) = x⁴-3·x+1, f(x) = 4·x³-3, I=(-∞;+∞) достаточно показать равенство из определения:

а) оба функции определены на I=(-∞;+∞);

б) F'(x) = (x⁴-3·x+1)' = (x⁴)'-3·(x)'+(1)' = 4·x⁴⁻¹-3·1+0 = 4·x³-3 = f(x).

Что и требовалось доказать.

#SPJ1

Answer 2

Щоб довести, що функція $F(x) = x^4 - 3x + 1$ є первісною для функції $f(x) = 4x^3 - 3$ на вказаному проміжку $(-∞, +∞)$, треба переконатися, що $F'(x) = f(x)$. Іншими словами, похідна функції $F(x)$ повинна бути рівна функції $f(x)$.

Обчислимо похідну функції $F(x)$:

$F'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 3x + 1)$ $= 4x^3 - 3$

Це співпадає з виразом для функції $f(x)$. Отже, функція $F(x)$ є первісною для функції $f(x)$ на проміжку $(-∞, +∞)$.