Question

Дано функцію f(x) = (x^2-8x)/(x+1) Знайти найбільше і найменше значення даної функції на проміжку [-5,-2]. Визначити точки екстремуму даної функції.

Answer 1

Дано функцію f(x) = (x^2-8x)/(x+1)

Знаходимо найбільше і найменше значення даної функції на проміжку [-5,-2].

f(-5) = ((-5)^2-8*(-5))/(-5+1)  = 65/(-4) = -16,25.

f(-2) = ((-2)^2-8*(-2))/(-2+1)  = 20/(-1) = -20.

Визначаємо точки екстремуму даної функції.

Знаходимо первісну:

f'(x) = (2x-8)*(x+1) - 1*(x^2-8x))/((x+1)^2) = (x^2 + 2x - 8)/((x + 1)^2).

Прирівнюємо їі до 0 (достатьно чисельник):

x^2 + 2x - 8 = 0,   Д = 4+4*8 = 36, х1 = (-2 - 6)/2 = -4,  х2 = (-2 + 6)/2 = 2.

Знаходимо знаки первісної:

х =     -5             -4             1            2                3

y' = 0,4375    0      -1,25        0      0,4375 .

У точці х = -4 маємо максимум функції,

f(-4) = ((-4)^2-8*(-4))/(-4+1)  = 48/(-3) = -16.

Відповідь:

- найбільше значення даної функції на проміжку [-5,-2]  дорівнює -16,

- найменше значення даної функції на проміжку [-5,-2] дорівнює -20,

- максимум функції у точці х = -4,

- мінімум функції у точці х = 2.

Answer 2

Для знаходження найбільшого та найменшого значень функції $f(x) = \frac{{x^2 - 8x}}{{x + 1}}$ на проміжку $[-5, -2]$, спершу знайдемо похідну функції та визначимо точки, в яких вона дорівнює нулю.

1. Знайдемо похідну функції $f(x)$: $f(x) = \frac{{x^2 - 8x}}{{x + 1}}$ $f'(x) = \frac{d}{{dx}}\left(\frac{{x^2 - 8x}}{{x + 1}}\right)$

Для знаходження похідної можемо скористатися правилом Лейбница для ділення дробів: $f'(x) = \frac{{(x + 1) \cdot \frac{d}{{dx}}(x^2 - 8x) - (x^2 - 8x) \cdot \frac{d}{{dx}}(x + 1)}}{{(x + 1)^2}}$

Знайдемо похідні складових:

$\frac{d}{{dx}}(x^2 - 8x) = 2x - 8$ $\frac{d}{{dx}}(x + 1) = 1$

Підставимо їх у формулу для $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{{(x + 1) \cdot (2x - 8) - (x^2 - 8x) \cdot 1}}{{(x + 1)^2}}$

2. Знайдемо точки, в яких $f'(x) = 0$, щоб визначити точки екстремуму. Розв'яжемо рівняння $f'(x) = 0$:

$0 = \frac{{(x + 1) \cdot (2x - 8) - (x^2 - 8x)}}{{(x + 1)^2}}$

Далі спростимо рівняння:

$0 = \frac{{2x^2 - 6x - 8 - x^2 + 8x}}{{(x + 1)^2}}$

$0 = \frac{{x^2 - 6x - 8}}{{(x + 1)^2}}$

Домножимо обидві сторони на $(x + 1)^2$ для зручності:

$0 = x^2 - 6x - 8$

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння. Використовуючи квадратну формулу, отримаємо дві точки:

$x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}$

де $a = 1$, $b = -6$, $c = -8$.

$x_1 = \frac{{6 + \sqrt{{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}}}{{2 \cdot 1}}$ $x_1 = \frac{{6 + \sqrt{{100}}}}{2}$ $x_1 = \frac{{6 + 10}}{2}$ $x_1 = 8$