Question

18.5. Решите квадратное неравенство:1) х2 - x — 56 >0;2) - x2 +х+ 72 > 0;​

Answer 1

Ответ:

1) х ∈ (-∞; -7) ∪ (8; +∞)      2) x ∈ (-8; 9)

Объяснение:

1) х² - х - 56 > 0

Найдём корни уравнения

х² - х - 56 = 0

D = 1 + 4 · 56 = 225

x₁ = (1 - 15) : 2 = -7

x₂ = (1 + 15) : 2 = 8

Неравенство х² - х - 56 > 0 имеет решение

х ∈ (-∞; -7) ∪ (8; +∞)

2) -х² + х + 72 > 0

Найдём корни уравнения

-х² + х + 72 = 0    

D = 1 + 4 · 72 =  289

x₁ = (-1 - 17) : (-2) = 9

x₂ = (-1 + 17) : (-2) = -8

Неравенство -х² + х + 72 > 0 имеет решение

x ∈ (-8; 9)    

Answer 2

Для решения квадратных неравенств сначала нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения, а затем анализировать интервалы, на которых неравенство выполняется.

1. Рассмотрим неравенство x^2 - x - 56 > 0.

Сначала найдем корни квадратного уравнения x^2 - x - 56 = 0:

Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,

где a = 1, b = -1 и c = -56. Подставляем значения:

D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-56) = 1 + 224 = 225.

Дискриминант равен 225, что положительно. Это означает, что уравнение имеет два действительных корня. Найдем сами корни:

x1 = (-b + √D) / (2a) = (-(-1) + √225) / (2 * 1) = (1 + 15) / 2 = 16 / 2 = 8, x2 = (-b - √D) / (2a) = (-(-1) - √225) / (2 * 1) = (1 - 15) / 2 = -14 / 2 = -7.

Итак, у нас есть два корня: x1 = 8 и x2 = -7.

Теперь мы знаем, что неравенство x^2 - x - 56 > 0 будет выполняться на интервалах между корнями.

Интервал 1: (-∞, -7). Интервал 2: (-7, 8). Интервал 3: (8, +∞).

Теперь определим знак выражения x^2 - x - 56 на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞, -7): Подставим x = -8 (значение между -∞ и -7) в x^2 - x - 56: (-8)^2 - (-8) - 56 = 64 + 8 - 56 = 16 > 0.

2. Для интервала (-7, 8): Подставим x = 0 (значение между -7 и 8) в x^2 - x - 56: (0)^2 - 0 - 56 = -56 < 0.

3. Для интервала (8, +∞): Подставим x = 9 (значение больше 8) в x^2 - x - 56: (9)^2 - 9 - 56 = 81 - 9 - 56 = 16 > 0.

Итак, неравенство x^2 - x - 56 > 0 выполняется на интервалах (-∞, -7) и (8, +∞).

2. Рассмотрим теперь неравенство -x^2 + x + 72 > 0.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения -x^2 + x + 72 = 0.

Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,

где a = -1, b = 1 и c = 72. Подставляем значения:

D = (1)^2 - 4 * (-1) * 72 = 1 + 288 = 289.

Дискриминант равен 289, что положительно. Это означает, что уравнение имеет два действительных корня. Найдем сами корни:

x1 = (-b + √D) / (2a) = (-1 + √289) / (2 * (-1)) = (-1 + 17) / (-2) = 16 / (-2) = -8, x2 = (-b - √D) / (2a) = (-1 - √289) / (2 * (-1)) = (-1 - 17) / (-2) = -18 / (-2) = 9.

Итак, у нас есть два корня: x1 = -8 и x2 = 9.

Теперь мы знаем, что неравенство -x^2 + x + 72 > 0 будет выполняться на интервалах между корнями.

Интервал 1: (-∞, -8). Интервал 2: (-8, 9). Интервал 3: (9, +∞).

Теперь определим знак выражения -x^2 + x + 72 на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞, -8): Подставим x = -9 (значение между -∞ и -8) в -x^2 + x + 72: -(-9)^2 + (-9) + 72 = -81 - 9 + 72 = -18 < 0.

2. Для интервала (-8, 9): Подставим x = 0 (значение между -8 и 9) в -x^2 + x + 72: -(0)^2 + 0 + 72 = 72 > 0.

3. Для интервала (9, +∞): Подставим x = 10 (значение больше 9) в -x^2 + x + 72: -(10)^2 + 10 + 72 = -100 + 10 + 72 = -18 < 0.

Итак, неравенство -x^2 + x + 72 > 0 выполняется на интервале (-8, 9).