Question

Подробное решение неравенств: 1) 5×4^(х+2) - 80/4^(х+2)<0 2) log3(x-1) <=log3(x/3 +1)

Answer 1

Ответ:

1) x∈(-1; +∞)

2) x∈(1; 3]

Объяснение:

1) 5·4ˣ⁺² - 80/4ˣ⁺²<0

5·4ˣ⁺²<80/4ˣ⁺²

Умножим обе части неравенства на положительное число 0,2·4ˣ⁺²

0,2·4ˣ⁺²·5·4ˣ⁺²<0,2·4ˣ⁺²·80/4ˣ⁺²

(4ˣ⁺²)²<16

4²⁽ˣ⁺²⁾<16=4²

4>1⇒2(x+2)>2

x+2>1

x>1-2

x>-1

x∈(-1; +∞)

2) log₃(x-1)≤log₃(x/3 +1)

ОДЗ: x-1>0 ∪  x/3+1>0 ⇒ x>1 ∪ x>-3⇒ x>1

log₃(x-1)≤log₃(x/3 +1)

3>1⇒x-1≤x/3+1

x-x/3≤1+1

2x/3≤2

x≤3

Учитывая ОДЗ имеем: 1<x≤3 или x∈(1; 3]

Answer 2

1) Начнем решение неравенства 5×4^(х+2) - 80/4^(х+2) < 0.

Сначала заметим, что мы можем упростить выражение, заменив 80/4^(х+2) на 20/4^(х). Тогда неравенство примет вид 5×4^(х+2) - 20/4^(х) < 0.

После преобразования получим: (5×4^(х+2))/(4^(х)) - 20/4^(х) < 0.

Далее заметим, что 4^(х+2) может быть записано как (4^2)^х, что равно 16^х. Также 4^(х) это (2^2)^х, что равно 2^(2х).

Получим: (5×16^х)/(2^(2х)) - 20/2^(2х) < 0.

Сокращаем дроби: (5×16^х - 20)/(2^(2х)) < 0.

Далее заменим 16^х на (2^4)^х, что равно 2^(4х).

Получим: (5×2^(4х) - 20)/(2^(2х)) < 0.

Теперь заменим 2^(4х) на (2^(2х))^2:

(5×(2^(2х))^2 - 20)/(2^(2х)) < 0.

Сократим дроби:

(5×(2^(2х))^2 - 20)/2^(2х) < 0.

Теперь введем замену: пусть u = 2^(2х):

(5u^2 - 20)/u < 0.

Мы можем факторизовать числитель:

5(u^2 - 4)/u < 0.

Теперь мы видим, что числитель разности квадратов, и его можно разложить на множители:

5(u - 2)(u + 2)/u < 0.

Также заметим, что знаменатель u отличен от нуля (так как в предыдущих преобразованиях мы использовали равенства типа 4^х ≠ 0 и 2^(2х) ≠ 0), поэтому мы можем сократить его из неравенства:

5(u - 2)(u + 2) < 0.

Теперь решим полученное уравнение:

(u - 2)(u + 2) < 0.

Здесь мы имеем произведение двух множителей, так что результатом будет отрицательное число только в случае, если один из множителей положителен, а другой отрицателен.

1) u - 2 < 0 и u + 2 > 0.

Решаем первое неравенство:

u < 2.

Решаем второе неравенство:

u > -2.

Получаем, что -2 < u < 2.

Теперь заменяем u обратно на 2^(2х):

-2 < 2^(2х) < 2.

Теперь нужно решить это неравенство относительно x. Для этого применяем логарифмы:

log2(-2) < 2х < log2(2).

Теперь решаем:

левая граница: -∞ < 2х. правая граница: 2х < 1.

Таким образом, решением неравенства будет все значения x, для которых -∞ < 2х < 1.

2) Теперь решим неравенство log3(x-1) <= log3(x/3 + 1).

Сначала применим свойство логарифма: loga(b) <= loga(c) эквивалентно b <= c.

Получаем: x - 1 <= x/3 + 1.

Упростим это неравенство, умножив обе части на 3:

3x - 3 <= x + 3.

Вычтем x из обеих частей:

2x - 3 <= 3.

Прибавим 3 к обеим частям:

2x <= 6.

Разделим обе части на 2:

x <= 3.

Таким образом, решением неравенства будет все значения x, для которых x <= 3.