Question

Решить уравнение sin 2x=2*(1+sin x+cos x)

Answer 1

Смотри в приложении:

Answer 2

Пусть $\sin x+\cos x=t~~(|t|\leq\sqrt{2})$. Возводим обе части равенства в квадрат, получим $1+\sin 2x=t^2~~\Rightarrow~~ \sin2x=t^2-1$. Получим:

$t^2-1=2(1+t)\\ \\ t^2-1=2+2t\\ \\ t^2-2t+1=4\\ \\ (t-1)^2=4\\ \\ t-1=\pm 2\\ \\ t_1=1$

$t_2=-3$ - не удовлетворяет неравенству $|t|\leq \sqrt{2}$

$\sin x+\cos x=1~~~\bigg|\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin \Big(x+\dfrac{\pi}{4}\Big)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ x+\dfrac{\pi}{4}=(-1)^k\cdot \dfrac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ \boxed{x=(-1)^k\cdot \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}}$

Answer 3

Давайте решим уравнение sin(2x) = 2(1 + sin(x) + cos(x)).

Сначала преобразуем правую сторону уравнения:

2(1 + sin(x) + cos(x)) = 2 + 2sin(x) + 2cos(x).

Теперь у нас есть уравнение:

sin(2x) = 2 + 2sin(x) + 2cos(x).

Далее мы можем использовать тригонометрические тождества для замены sin(2x) и cos(x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x), cos(x) = 1 - sin(x).

Теперь мы можем переписать уравнение в более простой форме:

2sin(x)cos(x) = 2 + 2sin(x) + 2(1 - sin(x)).

Раскроем скобки:

2sin(x)cos(x) = 2 + 2sin(x) + 2 - 2sin(x).

Теперь упростим уравнение:

2sin(x)cos(x) = 4.

Теперь мы можем разделить обе стороны на 2:

sin(x)cos(x) = 2.

Теперь нам нужно решить это уравнение. Для упрощения, мы можем представить sin(x)cos(x) как (1/2)sin(2x). Теперь уравнение выглядит так:

(1/2)sin(2x) = 2.

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

sin(2x) = 4.

Теперь найдем обратную функцию sin(x), используя обратный синус (arcsin):

2x = arcsin(4).

Однако, здесь мы сталкиваемся с проблемой, так как значение arcsin(4) не существует в области вещественных чисел, так как синус всегда ограничен от -1 до 1. Таким образом, уравнение sin(2x) = 4 не имеет решения в области вещественных чисел.