Question

Решить уравнение tan^2⁡х - 3tan⁡х - 4 = 0

Answer 1

p.s. одз (здесь оно не влияет, но писать все-таки стоит)

cosx ≠ 0

x ≠ n/2 + nl, l∈Z

Резшение:

Произведем замену: t = tgx

Получим квадратное уравнение: t^2-3t-4=0

Найдем его корни через дискриминант:

D = 9 + 4*4 = 25 = 5^2

t1 = (3+5)/2 = 8/2 = 4

t2 = (3-5)/2 = -2/2 = -1

Обратная замена:

1) tgx = 4

2) tgx = -1

1) x = arctg4 + nk, k∈Z

2) x = -n/4 + nk, k∈Z

Answer 2

Чтобы решить уравнение $\tan^2(x) - 3\tan(x) - 4 = 0$, давайте воспользуемся заменой переменной. Обозначим $\tan(x)$ как $t$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы можем либо воспользоваться квадратным корнем, либо воспользоваться методом факторизации. Давайте воспользуемся квадратным корнем:

Для квадратного уравнения вида $at^2 + bt + c = 0$, решение можно найти, используя формулу:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В данном случае, $a = 1$, $b = -3$ и $c = -4$. Подставляем значения в формулу:

$t = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)}$

$t = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}$

Таким образом, у нас есть два возможных решения:

1. Когда $t = \frac{3 + 5}{2} = 4$
2. Когда $t = \frac{3 - 5}{2} = -1$

Теперь мы должны вернуться к исходной переменной $x$ и найти значения $x$, соответствующие $\tan(x) = 4$ и $\tan(x) = -1$. Зная, что $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, мы можем использовать обратные тригонометрические функции, чтобы найти углы $x$:

1. Когда $\tan(x) = 4$, мы можем использовать $\arctan(4)$ для нахождения $x$. Это дает значение угла, для которого тангенс равен 4.

   $x = \arctan(4) \approx 1.325$ радиан (или около 75.96 градусов).

2. Когда $\tan(x) = -1$, мы можем использовать $\arctan(-1)$ для нахождения $x$. Это дает значение угла, для которого тангенс равен -1.

   $x = \arctan(-1) \approx -0.785$ радиан (или около -45 градусов).

Таким образом, уравнение $\tan^2(x) - 3\tan(x) - 4 = 0$ имеет два решения: $x \approx 1.325$ радиан и $x \approx -0.785$ радиан (или около 75.96 и -45 градусов соответственно).