Question

Докажите что 3^n+2 - 2^n+2 + 3^n - 2^n Делится на 10

Answer 1

3^(n+2) - 2^(n+2) + 3^n - 2^n  = 3^(n+2)  + 3^n - 2^(n+2) - 2^n = 9*3^n + 3^n - 4*2^n - 2^n = 10*3^n - 5*2^n = 10*3^n - 10*2^(n-1) = 10*(3^n - 2^(n-1))

в произведении один из множителей кратен 10, значит и все произведение кратно 10

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции: Проверим, что утверждение выполняется при n=1. 3^1+2 - 2^1+2 + 3^1 - 2^1 = 3+2 - 4 + 1 - 2 = 0. 0 делится на 10, поэтому база индукции выполнена.

2. Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого n=k, т.е. 3^k+2 - 2^k+2 + 3^k - 2^k делится на 10, где k - натуральное число.

3. Индукционный переход: Докажем, что утверждение верно для n=k+1, используя предположение индукции. Распишем выражение для n=k+1: 3^(k+1)+2 - 2^(k+1)+2 + 3^(k+1) - 2^(k+1). Приведем подобные слагаемые: 3^k * 3^2 + 3^k * 1 - 2^k * 2^2 - 2^k * 1. Упростим: 9 * 3^k + 3^k - 4 * 2^k - 2^k. Перегруппируем слагаемые: 9 * 3^k + 3^k - 4 * 2^k - 2^k. Вынесем общие множители за скобки: 3^k * (9 + 1) - 2^k * (4 + 1). Упростим: 3^k * 10 - 2^k * 5. По предположению индукции, 3^k+2 - 2^k+2 + 3^k - 2^k делится на 10. Заметим, что 3^k * 10 - 2^k * 5 является суммой двух чисел, которые делятся на 10. Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 10, также делится на 10. Поэтому, 3^(k+1)+2 - 2^(k+1)+2 + 3^(k+1) - 2^(k+1) также делится на 10.

Таким образом, мы доказали утверждение для всех натуральных чисел n по принципу математической индукции.