Question

y"=3sqrt(y+1) помогите решить, условие - Найти частное решение диффиренциального уравнения, допускающего понижение порядка

Answer 1

Здесь правая часть уравнения зависит только от переменной  у. Вводим замену $y'=p(y)$ тогда $y''=pp'$, получаем

$pp'=3\sqrt{y+1}$ - уравнение с разделяющимися переменными

$\displaystyle \int pdp=3\int\sqrt{y+1}dy\\ \\ \dfrac{p^2}{2}=3\cdot \dfrac{2}{3}(y+1)^{3/2}+C_1~~~~\Rightarrow~~~ p=\pm\sqrt{4(y+1)^{3/2}+C_1}$

Выполним обратную замену

$y'=\pm\sqrt{4(y+1)^{3/2}+C_1}\\ \\ \displaystyle \int \dfrac{dy}{\sqrt{4(y+1)^{3/2}+C_1}}=\pm\int dx\\ \\ \\ \int \dfrac{dy}{\sqrt{4(y+1)^{3/2}+C_1}}=\pm\dfrac{x^2}{2}+C_2$

Последний интеграл не так уж и просто вычислить...

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения y" = 3√(y + 1) ищем частное решение, допускающее понижение порядка. Давайте введем замену:

z = y'

Теперь мы можем переписать уравнение в виде уравнения первого порядка:

z' = 3√(y + 1)

Теперь давайте рассмотрим это уравнение. Мы хотим найти y(x), но у нас есть только z(x). Для этого давайте сначала решим уравнение для z(x), а затем восстановим y(x).

Итак, дифференцируем z по x:

z' = 3√(y + 1)

Теперь давайте выразим y из этого уравнения:

√(y + 1) = z'/3

y + 1 = (z'/3)^2

y = (z'/3)^2 - 1

Теперь у нас есть выражение для y(x) через производную z(x). Мы можем найти z(x) исходя из начального условия. Допустим, у нас есть начальные условия:

y(0) = y0 z(0) = z0

Тогда мы можем интегрировать z(x) и получить:

z(x) = ∫(3√(y + 1)) dx + C

После нахождения z(x) исходя из начальных условий, мы можем использовать выражение для y(x):

y(x) = (z(x)/3)^2 - 1

Это даст нам частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.