Question

Доказать, что если 0<=a<=1, то 2 arcsin=arccos(1-2a^2)

Answer 1

Доказательство на рисунку. Я использовала формулу косинуса двойного аргумента.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение.

Имеем утверждение: $0 \leq a \leq 1$. Требуется доказать, что $2 \arcsin(a) = \arccos(1 - 2a^2)$.

Мы знаем, что $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$ для любого $x$ в диапазоне $[-1, 1]$.

Давайте рассмотрим выражение $\arccos(1 - 2a^2)$:

$\arccos(1 - 2a^2) + \arcsin(a)$

Теперь используем известное тригонометрическое тождество $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$:

$\arccos(1 - 2a^2) + \arcsin(a) = \frac{\pi}{2}$

Теперь умножим обе стороны на 2:

$2\left(\arccos(1 - 2a^2) + \arcsin(a)\right) = \pi$

Раскроем скобки:

$2\arccos(1 - 2a^2) + 2\arcsin(a) = \pi$

Теперь заметим, что $2\arcsin(a) = \arcsin(2a)$:

$2\arccos(1 - 2a^2) + \arcsin(2a) = \pi$

Итак, мы доказали, что при $0 \leq a \leq 1$ верно утверждение:

$2 \arcsin(a) = \arccos(1 - 2a^2)$