Question

Помогите, даю 34 бала!! 1. Знайти п'ятнадцятий член арифметичної прогресії: 1) 3; 7...; 2) -5;-1; 2. Різниця арифметичної прогресії дорівнює 4, сума перших семи її членів дорівнює 105. Знайти перший і сьомий члени прогресії. 3. Знайти перший член арифметичної прогресії і число членів n, якщо d=-3; a(енне, n) = 2 i S(енне, n) = 57.

Answer 1

1. d = 7 - 3 = 4
n15 = n1 + 14d = 3 + 56 = 59
d = -1 - (-5) = 4
n15 = n1 + 14d = -1 + 56 = 55
2. 105 = S7 = (a1 + a7)*7/2 => a1 + a1 + 6d = 30 => a1 = 3
3. Sn = (An + An - (n-1)d)*n/2 => (4 +3n -3)*n = 114
3n^2 + n -114 = 0 => n = 6 => A1 = An - 5d = 2 + 15 = 17

Answer 2

Знайти п'ятнадцятий член арифметичної прогресії: 1) 3; 7...;

Для знаходження п'ятнадцятого члена арифметичної прогресії, нам потрібно знати перший член (a₁) та різницю (d) прогресії.

У даному випадку, ми маємо перший член a₁ = 3 та різницю d = 7 - 3 = 4.

Формула для знаходження n-го члена арифметичної прогресії: aₙ = a₁ + (n-1) * d

Підставимо відомі значення в формулу: a₁₅ = 3 + (15-1) * 4 a₁₅ = 3 + 14 * 4 a₁₅ = 3 + 56 a₁₅ = 59

Таким чином, п'ятнадцятий член арифметичної прогресії дорівнює 59.

Різниця арифметичної прогресії дорівнює 4, сума перших семи її членів дорівнює 105. Знайти перший і сьомий члени прогресії.

Для знаходження першого члена (a₁) та сьомого члена (a₇) арифметичної прогресії, нам потрібно знати різницю (d) прогресії.

У даному випадку, ми маємо різницю d = 4.

Сума перших семи членів прогресії S₇ = 105.

Формула для знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: Sₙ = (n/2) * (2a₁ + (n-1) * d)

Підставимо відомі значення в формулу: 105 = (7/2) * (2a₁ + (7-1) * 4) 105 = (7/2) * (2a₁ + 6 * 4) 105 = (7/2) * (2a₁ + 24) 105 = (7/2) * (2a₁ + 24) 210 = 14a₁ + 168 14a₁ = 210 - 168 14a₁ = 42 a₁ = 42/14 a₁ = 3

Таким чином, перший член арифметичної прогресії дорівнює 3.

Щоб знайти сьомий член прогресії, можна використовувати формулу для n-го члена арифметичної прогресії: aₙ = a₁ + (n-1) * d

Підставимо відомі значення в формулу: a₇ = 3 + (7-1) * 4 a₇ = 3 + 6 * 4 a₇ = 3 + 24 a₇ = 27

Таким чином, сьомий член арифметичної прогресії дорівнює 27.

Знайти перший член арифметичної прогресії і число членів n, якщо d = -3; aₙ = 2; Sₙ = 57.

Для знаходження першого члена (a₁) та числа членів (n) арифметичної прогресії, нам потрібно знати різницю (d) прогресії.

У даному випадку, ми маємо різницю d = -3, а значення останнього члена aₙ = 2 та суму Sₙ = 57.

Формула для знаходження n-го члена арифметичної прогресії: aₙ = a₁ + (n-1) * d

Підставимо відомі значення в формулу: 2 = a₁ + (n-1) * -3

Також, ми маємо формулу для знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: Sₙ = (n/2) * (2a₁ + (n-1) * d)

Підставимо відомі значення в формулу: 57 = (n/2) * (2a₁ + (n-1) * -3)

Ми отримали систему двох рівнянь з двома невідомими (a₁ і n). Розв'яжемо її.

2 = a₁ - 3n + 3 (1) 57 = (n/2) * (2a₁ - 3n + 3) (2)

Розкриємо дужки в другому рівнянні: 57 = (n/2) * (2a₁ - 3n + 3) 57 = n * a₁ - (3/2) * n² + (3/2) * n

Перепишемо це рівняння у вигляді: 57 = (3/2) * n² - (n/2) * (3 - 2a₁) + a₁

Зауважимо, що у першому рівнянні (1) маємо: a₁ = 2 + 3n - 3

Підставимо це значення у друге рівняння: 57 = (3/2) * n² - (n/2) * (3 - 2(2 + 3n - 3)) + (2 + 3n - 3)

Розкриємо дужки: 57 = (3/2) * n² - (n/2) * (3 - 4 - 6n + 6) + (2 + 3n - 3)

Спростимо вираз: 57 = (3/2) * n² - (n/2) * (6 - 6n) + (2 + 3n - 3)

57 = (3/2) * n² - (n/2) * (-6n) + (2 + 3n - 3)

57 = (3/2) * n² + 3n² + 3n - 3

57 = (9/2) * n² + 3n - 3

Перенесемо всі члени в одну сторону рівняння: (9/2) * n² + 3n - 3 - 57 = 0

(9/2) * n² + 3n - 60 = 0

Домножимо обидві частини рівняння на 2, щоб позбутися від знаменника: 9n² + 6n - 120 = 0

Розв'яжемо це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня: n = (-6 ± √(6² - 4 * 9 * -120)) / (2 * 9)

n = (-6 ± √(36 + 4320)) / 18

n = (-6 ± √4356) / 18

n = (-

Answer 3

1. Знайдемо п'ятнадцятий член арифметичної прогресії, де перший член (a_1) дорівнює 3, а різниця (d) невідома. Формула для знаходження n-го члена арифметичної прогресії має вигляд: a_n = a_1 + (n - 1) * d

Ми хочемо знайти a_15, тому n = 15. Оскільки d невідомо, ми поки що позначимо його як d.

a_15 = 3 + (15 - 1) * d a_15 = 3 + 14d

2. Різниця арифметичної прогресії дорівнює 4, і сума перших семи її членів дорівнює 105. Ми знаємо формули для знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії і для різниці d: S_n = (n/2) * [2a_1 + (n - 1) * d] d = (a_n - a_1) / (n - 1)

Ми хочемо знайти перший і сьомий члени прогресії (a_1 і a_7), тому n = 7. Знаючи суму S_7 і різницю d, ми можемо знайти a_1 і a_7.

S_7 = (7/2) * [2a_1 + (7 - 1) * 4] = 105 7a_1 + 6 * 4 = 105 7a_1 + 24 = 105 7a_1 = 105 - 24 7a_1 = 81 a_1 = 81 / 7 a_1 = 11.57 (округлено до двох знаків після коми)

Тепер, знаючи a_1, ми можемо знайти a_7: a_7 = a_1 + (7 - 1) * 4 a_7 = 11.57 + 6 * 4 a_7 = 11.57 + 24 a_7 = 35.57 (округлено до двох знаків після коми)

3. Знаючи, що різниця арифметичної прогресії d дорівнює -3 і що перший член a_1 дорівнює 2, а також суму S_n дорівнює 57, ми можемо використовувати формули для знаходження числа членів n і для знаходження n-го члена a_n.

a_n = a_1 + (n - 1) * d S_n = (n/2) * [2a_1 + (n - 1) * d]

Підставляючи відомі значення: 2 + (n - 1) * (-3) = 57

Розв'язуємо рівняння для n: 2 - 3n + 3 = 57 -3n + 5 = 57 -3n = 57 - 5 -3n = 52 n = 52 / -3 n = -17.33

Оскільки число членів повинно бути цілим, ми округлюємо n до найближчого меншого цілого числа: n ≈ -18

Тепер, знаючи n, ми можемо знайти перший член a_1: a_1 = a_n - (n - 1) * d a_1 = 2 - (-18 - 1) * (-3) a_1 = 2 - 17 * (-3) a_1 = 2 + 51 a_1 = 53

Отже, перший член арифметичної прогресії дорівнює 53, і число членів n дорівнює -18. Однак число членів не може бути від'ємним, тому є ймовірність, що рівняння було неправильно сформульовано. Треба перевірити вихідні дані.