Question

Обчислити значення похідної функції y = (3x+1)^3 * cos^3(x^2 + 2x +1) + pi^3 у точці х0 = - 1

Answer 1

y = (3x+1)^3 * cos^3(x^2 + 2x +1) + pi^3           х0 = - 1

y'= ( (3x+1)^3 )' * cos^3(x^2 + 2x +1) +  (3x+1)^3 * (cos^3(x^2 + 2x +1))' =

= 3*(3x+1)^2 *3 *cos^3(x^2 + 2x +1) - (3x+1)^3 *3 cos^2(x^2 + 2x +1)* *Sin(x^2+2x+1)*(2x +2)=

=9(3x+1)^2 *cos^3(x^2 + 2x +1) -3(2x+2)(3x+1)^3Cos^2(x^2 + 2x +1)* *Sin(x^2+2x+1)

при х = -1 получим:

y' = 9*(-2)*Cos^3(0) -3*0*(-2)*Cos0*Sin0= -18

Answer 2

Для обчислення похідної функції y = (3x+1)^3 * cos^3(x^2 + 2x +1) + π^3 у точці x0 = -1, спочатку знайдемо похідні окремих компонентів цієї функції, а потім використаємо правила похідних, такі як правило добутку і правило ланцюга.

1. Знайдемо похідну функції (3x+1)^3: Для цього використаємо правило ступеня: d/dx [(3x+1)^3] = 3(3x+1)^(3-1) * (d/dx [3x+1]) = 3(3x+1)^2 * 3

2. Знайдемо похідну функції cos^3(x^2 + 2x +1): Для цього використаємо правило ланцюга: d/dx [cos^3(x^2 + 2x +1)] = 3cos^2(x^2 + 2x +1) * (-sin(x^2 + 2x +1)) * (d/dx [x^2 + 2x +1])

   Тепер знайдемо похідну x^2 + 2x + 1: d/dx [x^2 + 2x + 1] = 2x + 2

   Підставимо це у вираз для похідної cos^3(x^2 + 2x +1): d/dx [cos^3(x^2 + 2x +1)] = 3cos^2(x^2 + 2x +1) * (-sin(x^2 + 2x +1)) * (2x + 2)

3. Знайдемо похідну функції π^3, яка є константою: d/dx [π^3] = 0

4. Тепер обчислимо похідну всієї функції y за допомогою правила добутку: d/dx [y] = [3(3x+1)^2 * 3 * cos^3(x^2 + 2x +1) - 3cos^2(x^2 + 2x +1) * sin(x^2 + 2x +1) * (2x + 2)] + 0

5. Підставимо x0 = -1 в цей вираз, щоб знайти значення похідної в точці x0 = -1: d/dx [y] |x=-1 = [3(3*(-1)+1)^2 * 3 * cos^3((-1)^2 + 2*(-1) +1) - 3cos^2((-1)^2 + 2*(-1) +1) * sin((-1)^2 + 2*(-1) +1) * (2*(-1) + 2)]

   Зараз обчислимо значення кожного компонента:

   • (3(-2+1)^2 * 3) = -3 * 1 * 3 = -9
   • cos^3(0) = 1
   • cos^2(0) = 1
   • sin(0) = 0
   • (2*(-1) + 2) = 0

   Тепер підставимо ці значення назад у вираз для похідної: d/dx [y] |x=-1 = [-9 * 1 - 1 * 0 * 0] = -9

Отже, значення похідної функції y = (3x+1)^3 * cos^3(x^2 + 2x +1) + π^3 у точці x0 = -1 дорівнює -9.