Question

Найдите наибольшее или наименьшее значение многочлена p^2 + 2pq + 2q^2+4q+404

Answer 1

многочлен неограничен максимум равен бесконечности

преобразуем многочлен

(p+q)^2+(q+2)^2+400

минимальное значение достигается при

q=-2

p=-q=2

минимальное значение равно 400

Answer 2

Для нахождения наибольшего или наименьшего значения многочлена p^2 + 2pq + 2q^2 + 4q + 404, нужно определить его минимум или максимум. Для этого мы можем воспользоваться методом дифференцирования.

Сначала найдем производные многочлена по переменным p и q:

По переменной p: dp/dp = 2p + 2q

По переменной q: dp/dq = 2p + 4

Теперь нам нужно найти стационарные точки, где обе производные равны нулю:

2p + 2q = 0 ...(1) 2p + 4 = 0 ...(2)

Из уравнения (2) следует, что 2p = -4, и, следовательно, p = -2.

Подставим значение p = -2 в уравнение (1):

2(-2) + 2q = 0 -4 + 2q = 0 2q = 4 q = 2

Таким образом, стационарная точка (p, q) равна (-2, 2).

Теперь давайте определим тип этой точки, чтобы узнать, является ли она минимумом, максимумом или седловой точкой. Для этого можно воспользоваться вторыми производными (матрицей Гессе). Однако в данном случае, можно заметить, что все коэффициенты при p^2, pq и q^2 положительные, поэтому это выражение представляет собой параболу, которая открывается вверх. Таким образом, это имеет минимум.

Следовательно, наименьшее значение многочлена достигается в стационарной точке (-2, 2). Подставляя это значение в многочлен:

p^2 + 2pq + 2q^2 + 4q + 404 = (-2)^2 + 2(-2)(2) + 2(2)^2 + 4(2) + 404 = 4 - 8 + 8 + 8 + 404 = 416

Таким образом, наименьшее значение многочлена p^2 + 2pq + 2q^2 + 4q + 404 равно 416 и достигается в точке (-2, 2).