Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2 – 4x + 3 и y = x –1. Построить график.

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 4x + 3 и y = x - 1, вам сначала нужно найти точки их пересечения. Площадь этой фигуры будет равна интегралу разности этих двух функций на интервале, где они пересекаются. Давайте начнем с поиска точек пересечения.

1. Найдем точки пересечения двух функций, установив равенство x^2 - 4x + 3 = x - 1 и решив уравнение:

x^2 - 4x + 3 = x - 1

При вычислении этого уравнения получим:

x^2 - 5x + 4 = 0

Теперь найдем корни этого уравнения, используя квадратное уравнение:

(x - 1)(x - 4) = 0

Отсюда получаем два корня: x = 1 и x = 4.

2. Теперь, когда у нас есть точки пересечения (x = 1 и x = 4), мы можем вычислить площадь между этими двумя функциями, интегрировав разницу между ними на этом интервале. Интеграл будет выглядеть так:

$S = \int_1^4[(x^2 - 4x + 3) - (x - 1)] dx$

Теперь вычислим этот интеграл:

$S = \int_1^4 (x^2 - 4x + 3 - x + 1) dx$ $S = \int_1^4 (x^2 - 5x + 4) dx$

Интегрируем:

$S = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x\right]_1^4$

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования и вычислим площадь:

$S = \left[\frac{4^3}{3} - \frac{5 \cdot 4^2}{2} + 4 \cdot 4\right] - \left[\frac{1^3}{3} - \frac{5 \cdot 1^2}{2} + 4 \cdot 1\right]$

$S = \left[\frac{64}{3} - \frac{40}{2} + 16\right] - \left[\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4\right]$

$S = \left[\frac{64}{3} - 20 + 16\right] - \left[\frac{2}{6} - \frac{15}{6} + \frac{24}{6}\right]$

$S = \left[\frac{60}{3}\right] - \left[\frac{11}{6}\right]$

$S = 20 - \frac{11}{6}$

$S = \frac{109}{6}$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 4x + 3$ и $y = x - 1$ на интервале [1, 4], равна $\frac{109}{6}$.