Question

Решить уравнение: (x^2+1)+(x^2+3)+...+(x^2+119)=6000 Решить уравнение: 1+x+x^2+x^3+...+x^99=0

Answer 1

1.

В левой части уравнения сумма арифметической прогрессии.

a₁=x²+1

d=2

n=(119-1)/2+1=60

Преобразуем по формуле

$\sf \dfrac{2(x^2+1)+(60-1)\cdot 2}{2}\cdot 60=6000 \\ 2x^2+2+120-2=200 \\ 2x^2=80 \\ x^2=40 \\ x= \pm 2 \sqrt{10}$

Ответ: ±2√10

2.

В левой части уравнения сумма геометрической прогрессии

a₁=1

q=x

n=99+1=100

Преобразуем по формуле

$\sf \dfrac{(1-x^{100})}{1-x}=0; \ \ \ x \neq 1 \\1-x^{100}=0 \\ x^{100}=1 \\ x=\pm1$

x=1 не подходит по ОДЗ

Ответ: -1

Answer 2

1. Решение уравнения (x^2+1)+(x^2+3)+...+(x^2+119)=6000:

Сначала упростим уравнение, объединив все члены в одну сумму:

(x^2 + 1) + (x^2 + 3) + ... + (x^2 + 119) = 6000

Теперь умножим каждое слагаемое на 2:

2x^2 + 1 + 2x^2 + 3 + ... + 2x^2 + 119 = 6000

Теперь объединим все члены с x^2 и константы:

2(x^2 + x^2 + ... + x^2) + (1 + 3 + ... + 119) = 6000

2(nx^2) + (1 + 3 + ... + 119) = 6000, где n - количество членов x^2 (или n = 60).

Теперь мы можем выразить сумму всех нечётных чисел от 1 до 119:

1 + 3 + ... + 119 = 2(1 + 2 + ... + 60) = 2 * (60 * 61 / 2) = 60 * 61.

Подставляем это обратно в уравнение:

2(60x^2) + 60 * 61 = 6000

Упростим:

120x^2 + 3660 = 6000

Вычитаем 3660 с обеих сторон:

120x^2 = 6000 - 3660 120x^2 = 2340

Теперь делим обе стороны на 120:

x^2 = 2340 / 120 x^2 = 19.5

Извлекаем квадратный корень:

x = ±√19.5

Таким образом, уравнение имеет два решения: x = √19.5 и x = -√19.5.

2. Решение уравнения 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^99 = 0:

Это уравнение представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с начальным членом 1 и множителем x. Для того чтобы найти сумму этой прогрессии, используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

S = a / (1 - r)

где S - сумма прогрессии, a - первый член прогрессии, r - множитель прогрессии.

В данном случае a = 1 и r = x.

Таким образом, сумма прогрессии равна:

S = 1 / (1 - x)

Теперь, чтобы найти решение уравнения, мы должны прировнять сумму к 0:

1 / (1 - x) = 0

Это уравнение не имеет решений, так как деление на 0 невозможно. В данном контексте сумма бесконечной геометрической прогрессии сходится к конечному значению только при условии |r| < 1, что в данном случае не выполняется, так как |x| не может быть больше 1, иначе прогрессия расходится.