Question

В арифметической прогрессии сумма первого и четвёртого члена равна 2, а 5 член прогрессии на 4 больше третьего, найдите сумму 10 первых членов прогрессии

Answer 1

Согласно условию  $a_1+a_4=2$ и  $a_5=a_3+4$. Найти нужно  $S_{10}$


По формуле n-го члена арифметической прогрессии :

$\displaystyle \left \{ {{a_1+a_1+3d=2} \atop {a_1+4d=a_1+2d+4}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{2a_1+3d=2} \atop {2d=4}} \right. ~~~\Rightarrow~~~\\ \\ \\ \Rightarrow~~~ \left \{ {{2a_1+6=2} \atop {d=2}} \right. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{a_1=-2} \atop {d=2}} \right.$


Сумма первых 10 членов арифметической прогрессии:

$S_{10}= \dfrac{2a_1+9d}{2}\cdot 10 =5\cdot(2\cdot(-2)+9\cdot 2)=70$

Answer 2

Для решения этой задачи давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как "a", а разность между членами прогрессии как "d". Таким образом, первый член a_1 = a, второй член a_2 = a + d, третий член a_3 = a + 2d и так далее.

У нас есть два условия:

1. Сумма первого и четвёртого члена равна 2: a + (a + 3d) = 2

2. Пятый член на 4 больше третьего: a + 4d = (a + 2d) + 4

Решим эти два уравнения. Сначала упростим их:

1. 2a + 3d = 2

2. 2a + 2d = a + 2d + 4

Теперь мы можем решить первое уравнение относительно "a":

2a = 2 - 3d

a = 1 - (3/2)d

Теперь мы можем подставить это значение "a" во второе уравнение:

2(1 - (3/2)d) + 2d = 1 - 3d + 2d + 2d = 1 + d = 4

Теперь у нас есть значение "d":

d = 4 - 1 = 3

Теперь у нас есть значения "a" и "d", и мы можем найти первый член искомой арифметической прогрессии:

a = 1 - (3/2)d = 1 - (3/2) * 3 = 1 - (9/2) = 1/2

Теперь, когда у нас есть значения "a" и "d", мы можем найти сумму первых 10 членов прогрессии, используя формулу для суммы арифметической прогрессии:

S_n = (n/2) * [2a + (n - 1)d]

где "n" - количество членов прогрессии. В данном случае, n = 10:

S_10 = (10/2) * [2 * (1/2) + (10 - 1) * 3] S_10 = 5 * [1 + 27] S_10 = 5 * 28 S_10 = 140

Итак, сумма первых 10 членов данной арифметической прогрессии равна 140.