Question

Докажите, что при любом натуральном n значение уравнение 3^{n + 2} - 2^{n + 2} + 3^{n} - 2^{n} делится нацело на 10.

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Чтобы доказать, что данное уравнение делится нацело на 10 при любом натуральном n, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

1. База индукции: Для n = 1: 3^(1 + 2) - 2^(1 + 2) + 3^1 - 2^1 = 27 - 8 + 3 - 2 = 20. Очевидно, что 20 делится нацело на 10.

2. Предположение индукции: Предположим, что при n = k уравнение делится нацело на 10, то есть 3^(k + 2) - 2^(k + 2) + 3^k - 2^k делится нацело на 10.

3. Шаг индукции: Докажем, что при n = k + 1 уравнение также делится нацело на 10: 3^((k+1) + 2) - 2^((k+1) + 2) + 3^(k+1) - 2^(k+1) = 3^(k + 3) - 2^(k + 3) + 3^(k+1) - 2^(k+1) = = 9 * 3^k - 4 * 2^k + 3 * 3^k - 2 * 2^k = 12 * 3^k - 6 * 2^k. Заметим, что 12 * 3^k - 6 * 2^k = 6 * (2 * 3^k - 2^k) = 6 * 2^k * (3^k - 2^(k-1)).

Теперь, учитывая предположение индукции, мы получаем, что 3^k - 2^(k-1) делится нацело на 10. Также, очевидно, что 6 * 2^k делится нацело на 10. Значит, произведение 6 * 2^k * (3^k - 2^(k-1)) также делится нацело на 10.

Таким образом, мы показали, что если уравнение 3^(n + 2) - 2^(n + 2) + 3^n - 2^n делится нацело на 10 для некоторого n = k, то оно делится нацело на 10 и при n = k + 1.

Исходя из базы индукции и шага индукции, мы можем заключить, что уравнение 3^(n + 2) - 2^(n + 2) + 3^n - 2^n делится нацело на 10 для любого натурального n.