Question

Найти общий интеграл диф-ого уравнения 6xdx - 2ydy = 2yx2dy – 3ху2dx.

Answer 1

$6x\, dx-2y\, dy=2yx^2\, dy-3xy^2\, dx\\\\6x\, dx+3xy^2\, dx=2yx^2\, dy+2y\, dy\\\\3x(2+y^2)\, dx=2y(x^2+1)\, dy\\\\\int \frac{3x\, dx}{x^2+1}=\int \frac{2y\, dy}{2+y^2}\\\\ \frac{3}{2}\cdot ln|x^2+1|=ln|2+y^2|+lnC\\\\\sqrt{(x^2+1)^3}=C\cdot (2+y^2)$

Answer 2

Для нахождения общего интеграла данного дифференциального уравнения, мы сначала разделим его на части, содержащие дифференциалы x и y:

6xdx - 2ydy = 2yx^2dy - 3xy^2dx

Теперь мы можем переписать это уравнение в следующем виде, чтобы легче интегрировать:

6xdx + 3xy^2dx = 2yx^2dy + 2ydy

Теперь интегрируем каждую сторону уравнения:

∫(6xdx + 3xy^2dx) = ∫(2yx^2dy + 2ydy)

Для левой стороны:

∫(6xdx + 3xy^2dx) = 6∫xdx + 3∫(xy^2)dx

Интегрируя по отдельности:

∫xdx = (1/2)x^2 ∫(xy^2)dx = (1/2)x^2y^2

Теперь правая сторона:

∫(2yx^2dy + 2ydy) = 2∫(yx^2dy) + 2∫(ydy)

Интегрируя по отдельности:

∫(yx^2dy) = (1/2)yx^2 ∫(ydy) = (1/2)y^2

Теперь мы можем записать общий интеграл:

(1/2)x^2 + (3/2)x^2y^2 = (1/2)yx^2 + (1/2)y^2 + C

Где C - произвольная постоянная интегрирования. Это общее решение данного дифференциального уравнения.