Question

Найти f `(x0) , если f(x) = 1/2 sin2x, x0= п/8 Найти f `(x0) , если f(x) = (3x-5)^3 + 1/ (3-x)^2, x0=2

Answer 1

1)
$f(x) = \frac{1}{2} sin2x,$  $x_0= \frac{ \pi }{8}$
$f'(x) =( \frac{1}{2} sin2x)'= \frac{1}{2} cos2x*(2x)'= \frac{1}{2} cos2x*2=cos2x$
$f'( \frac{ \pi }{8} )=cos(2* \frac{ \pi }{8}) =cos \frac{ \pi }{4} = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

2)
$f(x) = (3x-5)^3 + \frac{1}{(3-x)^2},$   $x_0=2$
$f'(x) =( (3x-5)^3 + \frac{1}{(3-x)^2} )'=((3x-5)^3)' + ( \frac{1}{(3-x)^2} )'=$$=3*(3x-5)^2*3+ \frac{0-2(3-x)*(-1)}{(3-x)^4} =9*(3x-5)^2+ \frac{2(3-x)}{(3-x)^4} =$$=9*(3x-5)^2+ \frac{2}{(3-x)^3}$
$f'(2)=9*(3*2-5)^2+ \frac{2}{(3-2)^3}=9+2=11$

Answer 2

Для нахождения f`(x0) необходимо найти производную функции f(x) и подставить значение x0.

1. Найдем производную функции f(x) = 1/2*sin(2x): f`(x) = 1/2 * 2 * cos(2x) = cos(2x)

Теперь подставим x0 = π/8: f`(π/8) = cos(2 * π/8) = cos(π/4) = 1/√2

Таким образом, f`(π/8) = 1/√2.

2. Найдем производную функции f(x) = (3x-5)^3 + 1/(3-x)^2: f`(x) = 3(3x-5)^2 * 3 + (-2)(1/(3-x)^3) = 9(3x-5)^2 - 2/(3-x)^3

Теперь подставим x0 = 2: f`(2) = 9(3*2-5)^2 - 2/(3-2)^3 = 9(6-5)^2 - 2/1 = 9*1^2 - 2 = 9 - 2 = 7

Таким образом, f`(2) = 7.