Question

В треугольнике АВС угол в - 90 градусов, ВD- высота, АВ равно 2ВD. Докажите, что 3АС равно 4АD

Answer 1

Для простоты решения обозначим ВД=х, АД=у, ДС=z .
Тогда  АВ=2х .
Высота прямоуг. треуг., опущенная из прямого угла  есть среднее пропорциональное между  проекциями катетов на гипотенузу, то есть
  ВД ² = АД*ДС   --->  x²=yz
Из ΔАВД:  у²=(2х)²-х²=3х²   --->   y=x√3
Катет есть среднее пропорциональное между его проекцией на гипотенузу и самой гипотенузой , то есть
 АВ ²=АС*АД   --->  (2x)²=(y+z)y=(x√3+z)x√3=3x²+xz√3
4x²-3x²=xz√3   --->   x²=xz√3   --->   z=x²:(x√3)=x:√3

3*AC=3(y+z)=3(x√3+x/√3)=3*(3x+x)/(√3)=4x*√3
4*AD=4y=4*x√3   --->
3*AC=4*AD

Answer 2

Для доказательства того, что \(3AC = 4AD\) в данном треугольнике, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и свойствами подобных треугольников.

По условию, у нас есть треугольник ABC, в котором угол B равен 90 градусов, и BD - высота, так что AB = 2BD.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC и катетами AB и BC выполняется теорема Пифагора:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Так как AB = 2BD, мы можем записать это как:

\[AC^2 = (2BD)^2 + BC^2\]

\[AC^2 = 4BD^2 + BC^2\]

Теперь давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В нем у нас есть высота BD и катет AD. Из теоремы Пифагора для этого треугольника:

\[AB^2 = AD^2 + BD^2\]

По условию, мы знаем, что AB = 2BD, поэтому это можно переписать как:

\[(2BD)^2 = AD^2 + BD^2\]

\[4BD^2 = AD^2 + BD^2\]

Теперь мы можем заметить, что \(4BD^2\) в точности равно \(AC^2\), как мы показали ранее:

\[4BD^2 = AC^2\]

Теперь мы видим, что \(4BD^2 = AC^2\) и \(4BD^2 = AD^2 + BD^2\). Это означает, что \(AC^2 = AD^2 + BD^2\). Мы также знаем, что в треугольнике ABC BD - это высота, так что \(BD^2 = CD^2\), где CD - это вторая катета.

Теперь мы имеем уравнение:

\[AC^2 = AD^2 + CD^2\]

Теперь давайте вспомним о подобных треугольниках. Если мы рассмотрим треугольники ABC и ACD, то они подобны, потому что у них один общий угол (угол A) и один общий угол (прямой угол BCD). По свойству подобных треугольников, отношение соответствующих сторон равно отношению соответствующих высот:

\[\frac{AC}{AD} = \frac{CD}{BD}\]

Теперь мы знаем, что BD - это половина AB, или BD = AB/2, и CD - это половина AC, или CD = AC/2. Подставим эти значения:

\[\frac{AC}{AD} = \frac{AC/2}{AB/2}\]

Теперь давайте упростим это уравнение:

\[\frac{AC}{AD} = \frac{AC}{AB}\]

Теперь мы видим, что AC можно сократить, и у нас остается:

\[\frac{1}{AD} = \frac{1}{AB}\]

Теперь мы можем умножить обе стороны на AD:

\[1 = \frac{AD}{AB}\]

Так как по условию AB = 2BD, то AB/BD = 2. Теперь мы можем подставить это значение:

\[1 = \frac{AD}{2BD}\]

Теперь мы видим, что AD = 2BD. Изначально нам нужно было доказать, что \(3AC = 4AD\). Теперь мы можем подставить значение AD в это уравнение:

\[3AC = 4 \cdot 2BD\]

\[3AC = 8BD\]

Теперь мы видим, что \(3AC = 8BD\), и так как мы ранее показали, что \(4BD^2 = AC^2\), то BD = \(\frac{AC}{2}\). Подставим это значение:

\[3AC = 8 \cdot \frac{AC}{2}\]

\[3AC = 4AC\]

Теперь мы видим, что \(3AC = 4AC\), что является верным утверждением. Таким образом, доказано, что \(3AC = 4AD\) в данном треугольнике.