Question

Докажите, что свободный член многочлена p(x) равен значению этого многочлена в точке x = 0. Докажите, что сумма всех коэффициентов стандартного вида многочлена p(x) равна p(1).

Answer 1

Рассмотрим многочлен в общем виде:
$p(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}$

1) Находим p(0):
$p(0)=a_0\cdot0^n+a_1\cdot0^{n-1}+...+a_{n-1}\cdot0+a_{n}=0+0+...+0+a_n=a_n$
Значит, значение многочлена в точке 0 равно свободному члену

2) Находим p(1):
$p(1)=a_0\cdot1^n+a_1\cdot1^{n-1}+...+a_{n-1}\cdot1+a_{n}=a_0+a_1+...+a_{n-1}+a_n$
Значит, значение многочлена в точке 1 равно сумме коэффициентов

Answer 2

Для доказательства этих утверждений нам нужно понимать, что такое свободный член и коэффициенты многочлена.

Многочлен обычно записывается в виде:

p(x) = a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... + a_2*x^2 + a_1*x + a_0

где a_n, a_(n-1), ..., a_2, a_1, a_0 - коэффициенты многочлена, а n - степень многочлена.

Свободный член - это коэффициент при x^0, то есть a_0.

Доказательство первого утверждения:

Свободный член p(x) равен значению многочлена в точке x=0.