Question

А)limx стремится к бесконечности (1+7/x)^2x б) limx стремится к бесконечности sin 5x/8

Answer 1

$lim_{x\to \infty }(1+\frac{7}{x})^{2x}=lim_{x\to \infty }\left ((1+\frac{7}{x})^{\frac{x}{7}}\right )^{14}=lim_{x\to \infty }e^{14}=e^{14}\\\\lim_{x\to \infty }\, sin\frac{5x}{8}\; -\; ne\; syshestvyet$

Answer 2

А) Давайте рассмотрим предел функции (1 + 7/x)^(2x) при x стремящемся к бесконечности:

lim(x -> ∞) (1 + 7/x)^(2x)

Чтобы вычислить этот предел, можно воспользоваться определением числа e, которое является пределом (1 + 1/n)^n при n стремящемся к бесконечности. Таким образом, мы можем преобразовать выражение следующим образом:

(1 + 7/x)^(2x) = [(1 + 1/(7/x))^7]^2x

Теперь мы видим, что внутри скобки у нас есть выражение, которое напоминает определение числа e:

lim(x -> ∞) (1 + 1/(7/x))^7 = (1 + 0)^7 = 1^7 = 1

Теперь, учитывая это, мы можем продолжить оценку предела:

lim(x -> ∞) (1 + 7/x)^(2x) = [lim(x -> ∞) (1 + 1/(7/x))^7]^2x = 1^(2x) = 1

Таким образом, предел функции (1 + 7/x)^(2x) при x стремящемся к бесконечности равен 1.

Б) Теперь рассмотрим предел функции sin(5x)/8 при x стремящемся к бесконечности:

lim(x -> ∞) sin(5x)/8

В этом случае, предел зависит от синусной функции. Синусная функция колеблется между -1 и 1, и при увеличении значения x она будет продолжать колебаться между этими значениями. Поэтому предел можно записать следующим образом:

-1/8 <= sin(5x)/8 <= 1/8

Так как предел функции находится в интервале от -1/8 до 1/8, то предел при x стремящемся к бесконечности равен 0:

lim(x -> ∞) sin(5x)/8 = 0

Таким образом, предел функции sin(5x)/8 при x стремящемся к бесконечности равен 0.

Answer 3

Для вычисления данных пределов воспользуемся правилом Лопиталя. Правило Лопиталя позволяет вычислять пределы отношений двух функций, когда оба предела равны бесконечности или ноль.

А) Нам дан предел:

lim х стремится к бесконечности (1 + 7/x)^(2x)

Если вспомнить определение числа "е" и предположить, что х стремится к бесконечности, то можно заметить, что данное выражение стремится к бесконечности в форме неопределенности 1^бесконечность.

Для решения данного предела, применим свойство экспоненты:

lim х стремится к бесконечности (1 + 7/x)^(2x) = e^(lim х стремится к бесконечности 2x * ln(1 + 7/x))

Данное выражение представляет собой функцию, в которой х является аргументом. Производная данной функции:

f'(x) = 2ln(1 + 7/x) - (7/(x + 7))

Теперь мы можем применить правило Лопиталя и найти предел производной функции, когда х стремится к бесконечности:

lim х стремится к бесконечности f'(x) = lim х стремится к бесконечности (2ln(1 + 7/x) - (7/(x + 7)))

После выполнения нескольких алгебраических преобразований, получаем предел:

lim х стремится к бесконечности f'(x) = 2ln(1 + 0) - 0 = 2ln(1) = 2 * 0 = 0

Таким образом, исходный предел равен:

lim х стремится к бесконечности (1 + 7/x)^(2x) = e^0 = 1

Б) Нам дан предел:

lim х стремится к бесконечности sin(5x)/8

Для нахождения данного предела, применим правило Лопиталя:

lim х стремится к бесконечности sin(5x)/8 = lim х стремится к бесконечности 5cos(5x)/0 = 0/8 = 0

Таким образом, предел равен 0.