Question

Помогите найти площадь фигуры ограниченной линиями через интегралy=x^2-5x-6, y=0, x=1, x=3

Answer 1

Ответ смотри во вкладке.

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 5x - 6, y = 0, x = 1 и x = 3, мы можем воспользоваться определенным интегралом. Площадь такой фигуры можно вычислить, используя интеграл по переменной x.

Для начала определим, как эти линии выглядят на графике:

1. y = x^2 - 5x - 6 - это парабола ветвями вверх. 2. y = 0 - это горизонтальная линия на уровне y = 0. 3. x = 1 и x = 3 - это вертикальные линии, ограничивающие нашу область слева и справа.

Чтобы найти точки пересечения этих линий, решим уравнение x^2 - 5x - 6 = 0:

x^2 - 5x - 6 = 0 (x - 6)(x + 1) = 0

Отсюда получаем два корня: x = 6 и x = -1. Таким образом, точки пересечения линии y = x^2 - 5x - 6 с горизонтальной линией y = 0 находятся при x = -1 и x = 6. Следовательно, наша фигура ограничена отрезком x от -1 до 6.

Теперь, чтобы вычислить площадь этой фигуры, мы можем использовать определенный интеграл:

\[S = \int_{-1}^{6} (x^2 - 5x - 6)dx\]

Вычислим этот интеграл:

\[S = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} - 6x\right]_{-1}^{6}\]

\[S = \left[\frac{6^3}{3} - \frac{5(6^2)}{2} - 6(6)\right] - \left[\frac{(-1)^3}{3} - \frac{5(-1)^2}{2} - 6(-1)\right]\]

\[S = \left[\frac{216}{3} - \frac{5(36)}{2} - 36\right] - \left[-\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 6\right]\]

\[S = \left[72 - 90 - 36\right] - \left[-\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 6\right]\]

\[S = -54 + \frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 6\]

Теперь просто вычислим это выражение:

\[S = -54 + \frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 6 \approx -53.1667\]

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2 - 5x - 6\), \(y = 0\), \(x = 1\) и \(x = 3\), составляет примерно -53.1667 квадратных единиц (площадь отрицательная, потому что парабола находится ниже оси x).