Question

Найти наименьшее и наибольшее значение функции y=-x^2+4x на отрезке |1;4|

Answer 1

Y'=(-x^2+4x)'=-2x+4
-2x+4=0
-2x=-4
X=2
Y(1)=-1^2+4•1=3
Y(2)=-2^2+4•2=-4+8=4
Y(4)=-4^2+4•4=-16+16=0
Yнаим=0 прих=4
Унаиб=4 при х=2

Answer 2

Производная функции $y = -x^2 + 4x$ равна $-2x + 4$. Чтобы найти критические точки (где производная равна нулю или не существует), приравняем производную к нулю:

$$-2x + 4 = 0$$

Решим это уравнение:

$$2x = 4 \implies x = 2$$

Теперь проверим значения функции в крайних точках отрезка $|1;4|$ и найденной критической точке $x = 2$.

1. Подставим $x = 1$:

$$y = -(1)^2 + 4(1) = -1 + 4 = 3$$

2. Подставим $x = 2$:

$$y = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4$$

3. Подставим $x = 4$:

$$y = -(4)^2 + 4(4) = -16 + 16 = 0$$

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $|1;4|$ равно -1 (достигается в точке $x = 1$), а наибольшее значение равно 4 (достигается в точке $x = 2$).