Question

Найдите все значения x, для которых выполняется неравенство f(x-1)>0, где f(x)=x^2+2×x-8.

Answer 1

Ответ:

Чтобы найти все значения x, для которых выполняется неравенство f(x-1) > 0, где f(x) = x^2 + 2x - 8, следует решить данное неравенство. Давайте разберемся пошагово:

1. Замените x на (x-1) в функции f(x):

  f(x-1) = (x-1)^2 + 2(x-1) - 8

         = x^2 - 2x + 1 + 2x - 2 - 8

         = x^2 - 9

2. Теперь неравенство становится:

  x^2 - 9 > 0

3. Решите это неравенство:

  x^2 - 9 > 0

  (x - 3)(x + 3) > 0

  Здесь мы использовали формулу разности квадратов и факторизовали выражение.

4. Рассмотрим знаки множителей:

  Когда (x - 3) > 0 и (x + 3) > 0, оба множителя положительны:

  x - 3 > 0  =>  x > 3

  x + 3 > 0  =>  x > -3

  Когда (x - 3) < 0 и (x + 3) < 0, оба множителя отрицательны:

  x - 3 < 0  =>  x < 3

  x + 3 < 0  =>  x < -3

  Знаки множителей должны быть одинаковыми, чтобы выполнялось неравенство.

5. Таким образом, получаем два интервала, в которых выполняется неравенство:

  -∞ < x < -3   и   3 < x < +∞

Таким образом, все значения x, для которых выполняется неравенство f(x-1) > 0, это x из интервала (-∞, -3) объединенное с интервалом (3, +∞).

Объяснение:

Answer 2

Для неравенства f(x-1) > 0, сначала найдем выражение для f(x-1):

f(x-1) = (x-1)^2 + 2(x-1) - 8

Теперь, чтобы найти значения x, при которых f(x-1) > 0, решим неравенство:

(x-1)^2 + 2(x-1) - 8 > 0

Давайте разберемся с этим неравенством:

1. Сначала выразим его в виде квадратного уравнения, чтобы найти корни. Пусть y = x - 1:

y^2 + 2y - 8 > 0

2. Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

(y + 4)(y - 2) > 0

Корни: y = -4 и y = 2.

3. Теперь определим знак выражения y^2 + 2y - 8 в интервалах между корнями:

• Берем произвольную точку в каждом интервале:

  • Если y < -4, например, y = -5: (-5 + 4)(-5 - 2) > 0, что равно (1)(-7) > 0, что верно.

  • Если -4 < y < 2, например, y = 0: (0 + 4)(0 - 2) > 0, что равно (4)(-2) > 0, что неверно.

  • Если y > 2, например, y = 3: (3 + 4)(3 - 2) > 0, что равно (7)(1) > 0, что верно.

Теперь мы знаем, что неравенство выполняется, когда y < -4 и y > 2. Перейдем обратно к переменной x:

1. Для y < -4: x - 1 < -4 x < -3

2. Для y > 2: x - 1 > 2 x > 3

Таким образом, неравенство f(x-1) > 0 выполняется для всех значений x из интервала (-бесконечность, -3) объединенного с интервалом (3, +бесконечность):

x < -3 или x > 3