Question

Срочно! Докажите, что из монет в 3 и 7 туристов можно составить любую сумму, начиная с 12-ти тугриков.

Answer 1

Для доказательства этого утверждения воспользуемся алгоритмом суммирования по модулю 3 и 7.
Пусть у нас есть x монет по 3 тугрика и y монет по 7 тугриков. Цель составить сумму, начиная с 12 тугриков.
1 Начнем с предположения, что у нас есть достаточное количество монет, чтобы составить сумму, равную 12 тугрикам:
2 3a + 7b = 12
3 где a и b - некоторые целые числа.
4 Для удобства докажем данное утверждение индукцией.
• База индукции: При a=4 и b=0 у нас есть 12 монет по 3 тугрика, что дает сумму 12 тугриков.
• Предположение индукции: Пусть для некоторых a и b выполняется условие 3a + 7b = n, где n ≥ 12.
• Шаг индукции: Докажем, что для a+1 и b-2 также будет выполняться условие 3(a+1) + 7(b-2) = n + 1.
3(a+1) + 7(b-2) = 3a + 3 + 7b - 14 = (3a + 7b) - 11
Так как 3a + 7b = n (предположение индукции), то:
3(a+1) + 7(b-2) = n - 11 = n + 1
Таким образом, предположение индукции выполняется.
5 Используя индукцию, мы можем утверждать, что для любой суммы n ≥ 12 мы можем составить сумму n с помощью монет по 3 и 7 тугриков.
Таким образом, мы доказали, что из монет в 3 и 7 туристов можно составить любую сумму, начиная с 12 тугриков

Answer 2

Действительно, из монет достоинством 3 и 7 тугриков можно составить любую сумму, начиная с 12-ти тугриков. Это основано на теории чисел и конкретно на так называемой "теории Фробениуса".

В данном случае, так как у нас есть монеты достоинством 3 и 7 тугриков, мы можем составить любое число N, которое больше либо равно 12, следующим образом:

- Если N кратно 3, мы можем просто использовать N/3 монет достоинством 3 тугрика.
- Если N не кратно 3, мы можем использовать одну монету достоинством 7 тугриков и оставшуюся сумму (N-7) можем составить с помощью монет достоинством 3 и 7 тугриков.

Таким образом, мы можем составить любую сумму, начиная с 12-ти тугриков, используя монеты достоинством 3 и 7 тугриков.

Answer 3

Эту задачу можно решить с использованием алгоритма, известного как "Задача Фрога" (или задача о монетах Фрога). Этот алгоритм поможет вам понять, какие суммы можно составить с помощью монет в 3 и 7 тугриков. Задача Фрога связана с тем, как лягушка (Frog) прыгает по числовой оси с шагом в размере наименьшей из доступных монет.

В этом случае у нас есть монеты номиналом 3 и 7 тугриков. Давайте начнем с наименьшей возможной суммы, которую можно составить, это 3 тугрика.

1. 3 тугрика - можно составить, используя монету в 3 тугрика.

Теперь давайте рассмотрим все суммы от 4 до 11 тугриков:

2. 4 тугрика - для этой суммы добавьте монету в 1 тугрик (3 + 1).
3. 5 тугриков - для этой суммы добавьте монету в 2 тугрика (3 + 2).
4. 6 тугриков - для этой суммы добавьте монету в 3 тугрика (3 + 3).
5. 7 тугриков - уже можно составить с помощью одной монеты в 7 тугриков.

Теперь у нас есть все суммы от 3 до 7 тугриков. Далее будем добавлять по 7 тугриков к каждой из них, чтобы получить новые суммы:

6. 10 тугриков - добавьте монету в 3 тугрика (3 + 7).
7. 11 тугриков - добавьте монету в 4 тугрика (4 + 7).

Теперь у нас есть суммы от 3 до 11 тугриков. Повторим этот процесс, добавляя по 7 тугриков, пока не достигнем 12 и более:

8. 12 тугриков - добавьте монету в 5 тугриков (5 + 7).
9. 13 тугриков - добавьте монету в 6 тугриков (6 + 7).
10. 14 тугриков - добавьте монету в 7 тугриков (7 + 7).

Таким образом, мы можем видеть, что начиная с 12 тугриков, мы можем составить любую сумму, используя только монеты в 3 и 7 тугриков. Это доказывает ваше утверждение.

Answer 4

Для доказательства того, что из монет в 3 и 7 тугриков можно составить любую сумму, начиная с 12 тугриков, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Математическая индукция позволяет доказать утверждение для всех целых чисел, начиная с некоторого базового значения.

Давайте предположим, что мы можем составить любую сумму от 12 тугриков и более с использованием монет номиналом 3 и 7. Теперь докажем, что мы сможем составить любую сумму, начиная с 12 + 1 тугрик.

1. Базовый шаг: Мы уже знаем, что можем составить сумму 12 тугриков (это базовый шаг). Теперь попробуем составить сумму 13 тугриков.

   • Если мы добавим монету номиналом 3 к 12 тугрикам, получим 15 тугриков.
   • Если мы вычтем монету номиналом 7 из 13 тугриков, получим 6 тугриков.
   • Мы уже знаем, что сумму 6 тугриков можно составить с использованием монет 3 и 7 (базовый случай).

2. Шаг индукции: Предположим, что мы можем составить любую сумму, начиная с 12 и до какого-то целого числа k с использованием монет 3 и 7. Теперь докажем, что мы можем составить сумму (k + 1) тугрик.

   • Если мы добавим монету номиналом 3 к сумме k тугриков, получим (k + 3) тугрика.
   • Если (k + 3) меньше или равно 7, то мы уже знаем, что такую сумму можно составить (базовый случай).
   • Если (k + 3) больше 7, то мы можем вычесть монету номиналом 7 из суммы (k + 3) тугриков, чтобы получить k тугриков.
   • Мы уже предположили, что сумму k тугриков можно составить (шаг индукции).

Таким образом, по принципу математической индукции, мы доказали, что можно составить любую сумму, начиная с 12 тугриков, с использованием монет номиналом 3 и 7.