Question

В треугольнике ABC угол А прямой,угол С равен 60°. Докажит, что AB <2 AC.

Answer 1

так как сумма углов в треугольнике 180, значит угол B 30 градусов, а катет, лежащий против угла в 30 гр равен половине гипотенузы, следовательно AC= 1/2 BC. тогда 2AC= 1/2 * 2 BC = BC. т. к. BC - гипотенуза, то она больше, чем катет AB. т. е. мы доказали, что AB<2AC.
♦

Answer 2

Для доказательства, что в треугольнике ABC, где угол А прямой (90°) и угол С равен 60°, выполняется неравенство AB < 2AC, давайте воспользуемся тригонометрией.

Пусть AB - гипотенуза, AC - прилегающий к углу С катет, и BC - другой катет.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике со сторонами a, b и гипотенузой c выполняется теорема Пифагора: c^2 = a^2 + b^2

В данном случае: AB = c (гипотенуза) AC = b (прилегающий к углу С катет) BC = a (другой катет)

У нас есть два утверждения:

1. Угол А прямой, поэтому применим синус угла С: sin(60°) = AC / AB √3/2 = AC / AB

2. Применим теорему Пифагора: AB^2 = AC^2 + BC^2 AB^2 = AC^2 + (2AC)^2 AB^2 = AC^2 + 4AC^2 AB^2 = 5AC^2

Теперь мы можем объединить оба утверждения: √3/2 = AC / AB AB^2 = 5AC^2

Из первого утверждения можно выразить AC / AB: AC / AB = √3/2

Теперь заменяем AC / AB во втором утверждении: AB^2 = 5AC^2 AB^2 = 5(AB^2 * 3/4) (подставляем √3/2 вместо AC / AB) AB^2 = 15/4 * AB^2

Теперь избавляемся от AB^2, деля обе стороны на AB^2 (при условии, что AB ≠ 0, что явно выполняется, так как треугольник существует): 1 = 15/4

Но это ложное утверждение, так как 1 и 15/4 не равны. Значит, наше исходное утверждение AB < 2AC неверно.

Таким образом, мы доказали, что AB не меньше, чем 2AC в данном треугольнике, но невозможно доказать, что AB < 2AC.