Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями Y= Ln x y=0 x=1 x=5

Answer 1

$\int\limits^5_1 {(xlnx-x)} \, dx=(5ln5-5)-(ln1+1)$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \ln(x)$, $y = 0$, $x = 1$ и $x = 5$, вам нужно вычислить интеграл функции $y = \ln(x)$ на отрезке между $x = 1$ и $x = 5$ и затем вычислить разность между этим интегралом и $0$, так как $y = 0$ - это горизонтальная линия, которая служит одной из границ фигуры.

Интеграл функции $y = \ln(x)$ можно вычислить следующим образом:

$$\int_{1}^{5} \ln(x) \, dx$$

Интеграл $\int \ln(x) \, dx$ можно выразить через элементарные функции:

$$\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - \int x \left(\frac{1}{x}\right) \, dx = x \ln(x) - \int dx = x \ln(x) - x + C$$

Теперь мы можем вычислить определенный интеграл на отрезке $[1, 5]$:

$$\int_{1}^{5} \ln(x) \, dx = \left[5 \ln(5) - 5\right] - \left[1 \ln(1) - 1\right] = 5 \ln(5) - 5 - 1 = 5 \ln(5) - 6$$

Таким образом, площадь фигуры ограничена линиями $y = \ln(x)$, $y = 0$, $x = 1$ и $x = 5$ равна $5 \ln(5) - 6$.