Question

Даны 2014 положительных чисел.Известно,что произведение любых 35 из них меньше 1.Докажите,что произведение всех данных чисел также меньше 1.

Answer 1

Поскольку произведение ЛЮБЫХ 35 чисел меньше единицы, это значит, что ВСЕ числа этого ряда принадлежат интервалу (0;1) либо от (-∞;0) либо от (-∞;1). Но по условию все числа положительны, то есть у нас остаётся 1 вариант: (0;1). Произведение любого количества чисел, принадлежащих данному интервалу никогда не даст число большее 1.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного (противоречия).

Предположим, что произведение всех данных 2014 положительных чисел больше или равно 1. Это означает, что каждое из этих чисел также больше или равно 1. Разделим все 2014 чисел на группы по 35 чисел в каждой группе. Так как каждое число в группе больше или равно 1, то произведение любой из этих групп чисел также больше или равно 1.

Следовательно, мы можем взять 35 групп чисел, каждая из которых имеет произведение больше или равное 1. У нас всего 2014 чисел, и мы можем разделить их на эти 35 групп. Теперь рассмотрим произведение чисел в одной из этих групп (каждая группа имеет 35 чисел). По условию, это произведение меньше 1.

Таким образом, у нас есть группа 35 чисел, произведение которых меньше 1, что противоречит условию задачи, по которому произведение любых 35 чисел должно быть меньше 1.

Исходное предположение, что произведение всех 2014 чисел больше или равно 1, является неверным. Следовательно, произведение всех данных чисел меньше 1.