Question

Даны 2015 положительных чисел, каждое из которых не равно единице. Произведение любых ста из них меньше единицы. Докажите, что произведение всех чисел меньше единицы. Как решить?

Answer 1

Возмьем 100 наибольших чисел этой последовательности. Наименьшее из них меньше 1 (т.к. их произведение меньше 1). Значит все оставшиеся  числа последовательности не превосходят этого наименьшего, т.е. они тоже меньше 1. Значит их произведение вместе с произведением чисел из той взятой сотни меньше 1. А это и есть прозведение всех.

Answer 2

Для доказательства того, что произведение всех чисел меньше единицы, необходимо использовать принцип математической индукции.

Базовый шаг:

Для начала, рассмотрим первые два числа из данного набора положительных чисел, пусть это будут числа a и b. По условию задачи, оба числа не равны единице, и произведение любых 100 чисел из данного набора меньше единицы. Таким образом, произведение a и b также меньше единицы.

Предположение индукции:

Предположим, что утверждение верно для произведения любых k чисел из данного набора, где k - натуральное число, k >= 2.

Индукционный переход:

Теперь рассмотрим произведение первых (k+1) чисел из данного набора, пусть это будут числа a1, a2, ..., ak, ak+1. По предположению индукции, произведение a1 * a2 * ... * ak меньше единицы. Также, по условию задачи, произведение любых 100 чисел из данного набора меньше единицы. Значит, произведение (a1 * a2 * ... * ak) * ak+1 также будет меньше