Question

Не решая квадратного уравнения 3x^2-x-11=0a) Найдите x1^2+x2^2б) составьте уравнение с целыми коэфицентами,каждый корень которого на единицу больше соответствующего корня данного уравнения

Answer 1

 

$3x^2 - x - 11 = 0 \ | : 3\\\\ x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{11}{3} = 0\\\\ x_1*x_2 = - \frac{11}{3}\\\\ x_1+x_2 = \frac{1}{3}$

 

$1) \ (x_1+x_2)^2 = x_1^2+2x_1x_2+x_2^2 = \frac{1}{9}\\\\ x_1^2-2(\frac{11}{3})+x_2^2 = \frac{1}{9}\\\\ x_1^2 + x_2^2 = \frac{1}{9}+\frac{22}{3} = \frac{1 + 66}{9} =\frac{67}{9}\\\\ 2) \ (x_1+1)(x_2+1) = x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = - \frac{11}{3} + \frac{1}{3} + 1 = \\\\\frac{-11+1+3}{3} = -\frac{7}{3}$

 

$(x_1+1) + (x_2 + 1) = x_1 + x_2 + 2 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}\\\\ x^2 - \frac{7}{3}x -\frac{7}{3} = 0 \ | * 3\\\\ \underline{3x^2 - 7x - 7 = 0}$

 

 

 

 

 

Answer 2

a) Найдите x1^2 + x2^2: Для нахождения x1 и x2 можно воспользоваться формулой дискриминанта. Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, дискриминант D вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В данном случае у нас есть квадратное уравнение 3x^2 - x - 11 = 0. Поэтому: a = 3, b = -1, c = -11.

Вычислим дискриминант: D = (-1)^2 - 4 * 3 * (-11) = 1 + 132 = 133.

Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два различных действительных корня. Формулы для нахождения корней имеют вид: x1 = (-b + √D) / (2a) x2 = (-b - √D) / (2a)

Подставим значения a, b, c и D в формулы и вычислим корни: x1 = (-(-1) + √133) / (2 * 3) = (1 + √133) / 6 x2 = (-(-1) - √133) / (2 * 3) = (1 - √133) / 6

Теперь найдем x1^2 + x2^2: x1^2 + x2^2 = ((1 + √133) / 6)^2 + ((1 - √133) / 6)^2 = (1 + 2√133 + 133) / 36 + (1 - 2√133 + 133) / 36 = (2 + 266) / 36 = 268 / 36 = 67 / 9

Таким образом, x1^2 + x2^2 = 67 / 9.

b) Составьте уравнение с целыми коэфициентами, каждый корень которого на единицу больше соответствующего корня данного уравнения: Пусть у нас есть квадратное уравнение с корнями x1 и x2. Тогда уравнение с корнями x1 + 1 и x2 + 1 можно получить, добавив коэффициенты перед x^2 и x в исходном уравнении на единицу.

Таким образом, уравнение с корнями x1 + 1 и x2 + 1 будет иметь вид: 3(x - (x1 + 1))(x - (x2 + 1)) = 0

Раскроем скобки: 3(x - x1 - 1)(x - x2 - 1) = 0

Упростим: 3(x^2 - (x1 + x2 + 1)x + (x1 + 1)(x2 + 1)) = 0

Таким образом, уравнение с целыми коэфициентами, каждый корень которого на единицу больше соответствующего корня данного уравнения, будет иметь вид: 3x^2 - 3(x1 + x2 + 1)x + 3(x1 + 1)(x2 + 1) = 0