Question

А) Решите уравнение.                                      Б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку  [-7π/2 ; -2π] sinx(4sinx - 1) = 2 + √3 cosx

Answer 1

Sinx + cosx = 1 - sin2x
Для начала распишем как синус двойного угла:
sinx + cosx = 1 - 2*sinx*cos x
а теперь возьведем в квадрат обе части равенства:
(sinx)^2 + 2*sinx*cosx + (cosx)^2 = 1 - 4sinx*cos x + (2*sinx*cos x)^2
(sinx)^2 + (cosx)^2 = 1. Поэтому
2*sinx*cosx = - 4sinx*cos x + (2*sinx*cos x)^2. Отсюда
6*sinx*cosx - 4*(sinx*cos x)^2 = 0.
2*sinx*cosx(3 - 2*sinx*cos x) = 0.
Дальше все ясно. Ага?

Answer 2

А) Решение уравнения:

sin(x)(4sin(x) - 1) = 2 + √3cos(x)

Для начала упростим уравнение. Заметим, что можно выразить cos(x) через sin(x), используя тождество Pythagoras:

cos(x) = √(1 - sin^2(x))

Теперь подставим это выражение в уравнение:

sin(x)(4sin(x) - 1) = 2 + √3√(1 - sin^2(x))

Раскроем скобки:

4sin^2(x) - sin(x) = 2 + √3√(1 - sin^2(x))

Теперь переносим все члены на одну сторону уравнения:

4sin^2(x) - sin(x) - 2 - √3√(1 - sin^2(x)) = 0

Теперь выразим sin(x) как t, чтобы упростить уравнение:

4t^2 - t - 2 - √3√(1 - t^2) = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно t:

4t^2 - t - 2 - √3√(1 - t^2) = 0

Решим это уравнение для t. Для этого можно использовать квадратное уравнение или методы численного анализа. После нахождения значений t, найдем соответствующие значения sin(x), используя обратное преобразование sin(x) = t.

Б) Поиск корней в заданном интервале:

Для нахождения корней на интервале [-7π/2, -2π], мы должны решить уравнение sin(x)(4sin(x) - 1) = 2 + √3cos(x) на этом интервале. Сначала найдем корни уравнения из части А, а затем отфильтруем те, которые удовлетворяют условию интервала.

Когда вы найдете значения t из уравнения 4t^2 - t - 2 - √3√(1 - t^2) = 0, проверьте, лежат ли соответствующие значения sin(x) на интервале [-1, 0] (так как sin(x) принимает значения в этом интервале при x на вашем интервале).

Это позволит вам найти корни уравнения sin(x)(4sin(x) - 1) = 2 + √3cos(x) на заданном интервале.