Question

А) Пусть функция f определена на промежутке (а; х0]. Сформулировать на "языке ε-δ" отрицание того, что f непрерывна слева в точке х0. б) Пусть функция f определена на промежутке [х0; b). Сформулировать на "языке ε-δ" отрицание того, что f непрерывна справа в точке 0.​

Answer 1

Я определение непрерывности в точке написал, условие разрыва, а разрывы слева и справа получаются из общего условия только берется не симметричный промежуток, а соответствующий полуинтервал

Это основное определение. Многие непрерывность сводят к тому, что предел равен значению функции в соответствующей точке, но это неверно. Это только для непрерывности в предельной точке области определения, в которой имеем право рассматривать предел. Но выпадает случай изолированной точки. В этом определении изолированные точки не исключаются из рассмотрения и они всегда удовлетворяют условию непрерывности

Answer 2

А) Для отрицания непрерывности слева в точке x0 на "языке ε-δ" мы можем сказать следующее: Функция f не непрерывна слева в точке x0, если существует такое положительное ε, что для любого δ > 0 существует точка x такая, что 0 < |x0 - x| < δ, но |f(x0) - f(x)| ≥ ε.

Более формально, отрицание непрерывности слева можно выразить следующим образом:

∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃x: 0 < |x0 - x| < δ и |f(x0) - f(x)| ≥ ε.

Б) Для отрицания непрерывности справа в точке x0 на "языке ε-δ" мы можем сказать следующее: Функция f не непрерывна справа в точке x0, если существует такое положительное ε, что для любого δ > 0 существует точка x такая, что 0 < |x - x0| < δ, но |f(x) - f(x0)| ≥ ε.

Более формально, отрицание непрерывности справа можно выразить следующим образом:

∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃x: 0 < |x - x0| < δ и |f(x) - f(x0)| ≥ ε.