Question

Решить неравенство: 1)x²-16 / 2x²+5x-12 >0 2)x²-9 / 2x²-5x-3 <0

Answer 1

1)x²-16 / 2x²+5x-12 >0
(x-4)(x+4)/(x+1,5)(x-4)>0
x+4/x+1,5>0
x+4>0 x>-4
x+1,5>0 x>-1,5


2)x²-9 / 2x²-5x-3 <0
(x-3)(x+3)/(x+3)(x-0,5)<0
x-3/x-0,5<0
x-3<0 x<3
x-0,5<0 x<0,5

Answer 2

Для решения неравенств сначала найдем корни квадратных уравнений в числителях и знаменателях и определим интервалы, на которых функции величины будут положительными или отрицательными. Затем мы используем метод интервалов для определения решения неравенств.

1. Начнем с первого неравенства:

$\frac{x^2 - 16}{2x^2 + 5x - 12} > 0$

Сначала найдем корни числителя и знаменателя:

Числитель: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$ Знаменатель: $2x^2 + 5x - 12 = (2x - 3)(x + 4)$

Теперь определим интервалы, на которых числитель и знаменатель положительны:

Для числителя: $x - 4 > 0$ и $x + 4 > 0$ (оба множителя должны быть положительными) Это выполняется, когда $x > 4$.

Для знаменателя: $2x - 3 > 0$ и $x + 4 > 0$ Это выполняется, когда $x > \frac{3}{2}$ и $x > -4$, что равно $x > -4$ (так как $x > \frac{3}{2}$ включает в себя $x > -4$).

Теперь мы можем построить таблицу интервалов, на которых функция положительна или отрицательна:

• Если $x < -4$, то оба числитель и знаменатель отрицательны, поэтому отношение положительно.
• Если $-4 < x < \frac{3}{2}$, то числитель отрицателен, а знаменатель положителен, поэтому отношение отрицательно.
• Если $x > \frac{3}{2}$, то и числитель, и знаменатель положительны, поэтому отношение снова положительно.

Итак, решение первого неравенства:

$x \in (-\infty, -4) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

2. Теперь рассмотрим второе неравенство:

$\frac{x^2 - 9}{2x^2 - 5x - 3} < 0$

Снова найдем корни числителя и знаменателя:

Числитель: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ Знаменатель: $2x^2 - 5x - 3 = (2x + 1)(x - 3)$

Определим интервалы, на которых числитель и знаменатель положительны:

Для числителя: $x - 3 > 0$ и $x + 3 > 0$ (оба множителя должны быть положительными) Это выполняется, когда $x > 3$.

Для знаменателя: $2x + 1 > 0$ и $x - 3 > 0$ Это выполняется, когда $x > -\frac{1}{2}$ и $x > 3$.

Теперь построим таблицу интервалов:

• Если $x < -\frac{1}{2}$, то и числитель, и знаменатель отрицательны, поэтому отношение положительно.
• Если $-\frac{1}{2} < x < 3$, то числитель положителен, а знаменатель отрицателен, поэтому отношение отрицательно.
• Если $x > 3$, то и числитель, и знаменатель положительны, поэтому отношение снова положительно.

Итак, решение второго неравенства:

$x \in (-\frac{1}{2}, 3)$