Question

помогите решить. докажите что значение выражения 3^n+3^n+1+3^n+2кратно 13 при любом натуральном значении n........ (n это степень, n+1,n+2,тоже)

Answer 1

$3^n+3^{n+1}+3^{n+2}=3^n+3*3^n+3^2*3^n=3^n(1+3+9)=13*3^n$

Answer 2

Для доказательства, что выражение $3^n + 3^{n+1} + 3^{n+2}$ кратно 13 при любом натуральном значении $n$, давайте воспользуемся методом математической индукции.

1. Базис индукции: При $n = 1$, выражение принимает вид $3^1 + 3^2 + 3^3 = 3 + 9 + 27 = 39$, что кратно 13.

2. Предположение индукции: Предположим, что для некоторого натурального числа $k$ выполняется условие: $3^k + 3^{k+1} + 3^{k+2} = 13m,$ где $m$ - некоторое целое число.

3. Индуктивный переход: Теперь докажем, что если утверждение верно для $k$, то оно верно и для $k + 1$. Рассмотрим выражение при $n = k + 1$: $3^{k+1} + 3^{(k+1)+1} + 3^{(k+1)+2}$ Разложим это выражение: $3^{k+1} + 3^{k+2} + 3^{k+3}$ По предположению индукции, мы знаем, что $3^k + 3^{k+1} + 3^{k+2} = 13m$. Добавим к этому выражению $3^{k+3}$: $13m + 3^{k+3}$ Теперь докажем, что $3^{k+3}$ также кратно 13. Рассмотрим $3^{k+3}$ как $3^k \times 3^3$. Так как 3 в степени 3 делится на 13 (поскольку $3^3 = 27$), и по предположению индукции $3^k$ также делится на 13, произведение $3^k \times 3^3$ также кратно 13.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для некоторого $k$, то оно верно и для $k + 1$.

По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел $n$.