Question

Вычислить частную производную функции z=6 in x+y^0,5/x по переменной y в точке А(1/8,1)

Answer 1

$z=6\, lnx+\frac{y^{0,5}}{x}\\\\z'_{y}=\frac{0,5y^{-0,5}}{x} =\frac{1}{2x\sqrt{y}}\\\\z'_{y}(\frac{1}{8},1)=\frac{8}{2\sqrt1}=4$

Answer 2

Чтобы вычислить частную производную функции z = 6x + y^(0.5)/x по переменной y в точке A(1/8, 1), мы должны сначала выразить функцию z в явном виде и затем продифференцировать ее по переменной y.

Для начала, представим функцию z в явном виде: z(x, y) = 6x + (y^(0.5))/x

Теперь продифференцируем эту функцию по переменной y, считая x постоянной: ∂z/∂y = ∂(6x + (y^(0.5))/x)/∂y

Теперь вычислим производную правой части по y. Сначала рассмотрим первое слагаемое 6x, которое не зависит от y, поэтому его производная равна нулю: ∂(6x)/∂y = 0

Теперь рассмотрим второе слагаемое (y^(0.5))/x: ∂((y^(0.5))/x)/∂y

Для вычисления этой производной мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции. Обозначим u = y^(0.5) и v = x, тогда функция z записывается как z = u/v. Производная u по y равна: ∂u/∂y = (1/2)y^(-0.5)

Производная v по y равна нулю, так как x считается постоянной.

Теперь используем правило дифференцирования сложной функции: ∂((y^(0.5))/x)/∂y = (1/v) * ∂u/∂y = (1/x) * (1/2)y^(-0.5)

Теперь подставим значения x = 1/8 и y = 1 в эту производную: ∂z/∂y = (1/(1/8)) * (1/2)(1^(-0.5)) = 8 * (1/2) = 4

Таким образом, частная производная функции z по переменной y в точке A(1/8, 1) равна 4.