Question

Розв'яжіть систему рівнянь: x²-x-6≥0 4x(x-1)-2(X+1)²≤8

Answer 1

x²-x-6=0 4x(x-1)-2(X+1)²=8

Д=1-4*(-6)=25 4x²-4х-2x²-4х-2-8=0

х≥3 2x²-8х-10=0

х≥-2 x²-4х-5=0

Д=16-4(-5)=36

х≤5

х ≤-1

Answer 2

Давайте спершу розв'яжемо перше нерівність:

1. x² - x - 6 ≥ 0

Спростимо це рівняння, розклавши його на множники:

(x - 3)(x + 2) ≥ 0

Тепер знайдемо інтервали, на яких ця нерівність виконується. Для цього подивимося знак виразу на кожному з інтервалів, де розташовані корені (3 і -2):

1. x < -2: (x - 3) і (x + 2) обидва від'ємні, отже, добуток буде додатнім.
2. -2 < x < 3: (x - 3) негативний, (x + 2) позитивний, отже, добуток буде від'ємним.
3. x > 3: (x - 3) і (x + 2) обидва позитивні, отже, добуток буде додатнім.

Отже, нерівність виконується на інтервалах: x < -2 і x > 3.

Тепер перейдемо до другої нерівності:

2. 4x(x - 1) - 2(x + 1)² ≤ 8

Спростимо це рівняння:

4x(x - 1) - 2(x + 1)² - 8 ≤ 0

Тепер поділимо обидві сторони на 2:

2x(x - 1) - (x + 1)² - 4 ≤ 0

Розкриємо квадрат на правій стороні:

2x(x - 1) - (x² + 2x + 1) - 4 ≤ 0

Тепер спростимо вираз:

2x² - 2x - x² - 2x - 1 - 4 ≤ 0

x² - 4x - 5 ≤ 0

Тепер знайдемо інтервали, на яких ця нерівність виконується. Для цього подивимося знак виразу на кожному з інтервалів, де розташовані корені (5 і -1):

1. x < -1: Обидва члени x² і -4x негативні, отже, сума буде від'ємною.
2. -1 < x < 5: Член x² позитивний, а -4x негативний, отже, сума буде від'ємною.
3. x > 5: Обидва члени x² і -4x позитивні, отже, сума буде позитивною.

Отже, нерівність виконується на інтервалах: x < -1 і -1 < x < 5.

Тепер, коли ми знайшли інтервали, на яких кожна з нерівностей виконується, давайте знайдемо їх перетин, тобто інтервал, на якому виконуються обидві нерівності. Перетином інтервалів x < -2 і -1 < x < 5 є інтервал -1 < x < -2, оскільки це єдиний інтервал, який належить обом нерівностям.

Отже, розв'язок системи рівнянь:

1. x² - x - 6 ≥ 0
2. 4x(x - 1) - 2(x + 1)² ≤ 8

це інтервал -1 < x < -2.