Question

Помогите пж. Алгебра 9 класс. Решить неравенство Корень из (х^2+х-42)/(х-1) больше либо равен -1

Answer 1

Решение на фотографии.

Answer 2

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом.

Имеем неравенство:

$$\frac{\sqrt{x^2 + x - 42}}{x - 1} \geq -1.$$

Первым шагом уберем знаменатель, предполагая, что $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$:

$$\sqrt{x^2 + x - 42} \geq -1 \cdot (x - 1).$$

Так как корень не может быть отрицательным, возьмем квадрат обеих сторон неравенства:

$$(x^2 + x - 42) \geq (x - 1)^2.$$

Раскроем квадрат и преобразуем неравенство:

$$x^2 + x - 42 \geq x^2 - 2x + 1.$$

Вычтем $x^2$ из обеих сторон:

$$x - 42 \geq -2x + 1.$$

Теперь сложим $2x$ с обеих сторон и перегруппируем:

$$3x \geq 43.$$

Теперь разделим обе стороны на 3:

$$x \geq \frac{43}{3}.$$

Так как мы предположили, что $x \neq 1$, и получили, что $x \geq \frac{43}{3}$, то итоговый интервал, удовлетворяющий неравенству, будет:

$$x \in \left(\frac{43}{3}, +\infty\right).$$

Answer 3

Давайте рассмотрим неравенство и попробуем его решить.

Имеем неравенство:

$$\frac{\sqrt{x^2 + x - 42}}{x - 1} \geq -1$$

Чтобы начать решение, обратим внимание, что корень из числа всегда неотрицателен, так что для неравенства имеет смысл рассмотреть только положительные значения $x$, то есть $x > 1$. Поэтому будем рассматривать только этот диапазон.

1. Рассмотрим случай $x > 1$:

Условие $x > 1$ гарантирует, что знаменатель $x - 1$ положителен.

Из условия неравенства получаем:

$$\frac{\sqrt{x^2 + x - 42}}{x - 1} \geq -1$$

Умножим обе стороны на $x - 1$ (положительное значение), при этом следует учесть, что корень неотрицателен:

$$\sqrt{x^2 + x - 42} \geq -(x - 1)$$

Теперь возводим обе стороны в квадрат, учитывая, что $x - 1$ положителен:

$$x^2 + x - 42 \geq (x - 1)^2$$

Раскроем квадрат справа:

$$x^2 + x - 42 \geq x^2 - 2x + 1$$

Упростим:

$$3x \leq 43$$

Теперь разделим обе стороны на положительное $3$:

$$x \leq \frac{43}{3}$$

Таким образом, для $x > 1$ неравенство $\frac{\sqrt{x^2 + x - 42}}{x - 1} \geq -1$ выполнено при $x \leq \frac{43}{3}$.

2. Рассмотрим случай $x < 1$:

В этом случае знаменатель $x - 1$ отрицателен. Для удобства, умножим обе стороны неравенства на $-1$ (при этом знак неравенства меняется):

$$\frac{\sqrt{x^2 + x - 42}}{1 - x} \leq 1$$

Теперь можем продолжить аналогично первой части:

$$\sqrt{x^2 + x - 42} \leq 1 - x$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$x^2 + x - 42 \leq (1 - x)^2$$

Раскрываем квадрат справа:

$$x^2 + x - 42 \leq x^2 - 2x + 1$$

Упрощаем:

$$x \geq -\frac{43}{3}$$

Таким образом, для $x < 1$ неравенство $\frac{\sqrt{x^2 + x - 42}}{x - 1} \geq -1$ выполнено при $x \geq -\frac{43}{3}$.

3. Итог:

Объединяя результаты из обоих случаев, получаем:

$$x \in \left(-\infty, -\frac{43}{3}\right] \cup \left(1, \frac{43}{3}\right]$$

Это и есть область значений $x$, для которых неравенство $\frac{\sqrt{x^2 + x - 42}}{x - 1} \geq -1$ выполняется.