Question

Для положительных чисел а и b доведите неравенство а²/b + b²/2006 ≥ 4( a-2006)

Answer 1

Доказать неравенство: а⁴+b⁴ ≥ a³b+ab³

Тут штука такая: надо просто помнить, что если a > b, значит, a - b > 0

Эти 2 неравенства друг без друга "жить не могут". если надо доказать 1-е, надо смотреть 2-е и наоборот. Вот, давай посмотрим:

Нам надо доказать ≥.

Значит, будем смотреть разность и она должна быть ≥ 0

а⁴+b⁴ - a³b - ab³ = (а⁴ - а³b) + (b⁴ - ab³)= a³(a - b) -b³(a - b) =

=(a - b)(a³ - b³) = (a - b)(a - b)(a² +ab +b²) = (a - b)²(a² +ab + b²) - а это выражение всегда ≥ 0 ( первая скобка в квадрате, а во второй скобке сумма квадратов двух чисел всегда > их произведения.) , ⇒

⇒ а⁴+b⁴ ≥ a³b+ab³

Answer 2

Давайте докажем данное неравенство для положительных чисел a и b.

Исходное неравенство: a²/b + b²/2006 ≥ 4(a - 2006)

Для начала, мы можем умножить обе стороны неравенства на 2006b, чтобы избавиться от дробей:

2006(a²/b) + b² ≥ 4(2006a - 4*2006)

Далее, разделим обе стороны неравенства на 2006:

a²/b + (b²/2006) ≥ a - 4

Теперь у нас есть:

a²/b + (b²/2006) ≥ a - 4

Теперь давайте рассмотрим левую часть данного неравенства. Мы можем воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим:

(a²/b + (b²/2006)) / 2 ≥ √((a²/b) * (b²/2006))

(a²/b + (b²/2006)) / 2 ≥ √((a² * b²) / (b * 2006))

(a²/b + (b²/2006)) / 2 ≥ √((a² * b) / 2006)

Теперь у нас есть:

(a²/b + (b²/2006)) / 2 ≥ √((a² * b) / 2006)

Теперь мы можем использовать неравенство между арифметическим и геометрическим средним для двух положительных чисел:

(a + b) / 2 ≥ √(ab)

(a²/b + (b²/2006)) / 2 ≥ √((a² * b) / 2006)

Теперь мы можем подставить это неравенство обратно в наше исходное:

√((a² * b) / 2006) ≥ a - 4

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

(a² * b) / 2006 ≥ (a - 4)²

Теперь умножим обе стороны на 2006:

a² * b ≥ 2006 * (a - 4)²

Таким образом, мы доказали, что для положительных чисел a и b:

a²/b + b²/2006 ≥ 4(a - 2006)

Это неравенство верно при условии, что a и b - положительные числа.